[중2 수학] 일차함수와 연립방정식: 그래프의 교점과 절편을 이용한 삼각형의 넓이 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 교점과 절편을 이용한 도형의 넓이 구하기

두 일차방정식의 그래프가 좌표평면 위에서 만들어내는 삼각형의 넓이를 구하는 문제는 학교 시험에 무조건 출제되는 단골 유형입니다. 이 문제를 풀기 위해서는 연립방정식의 해(=교점)와 각 직선의 $x$절편, $y$절편을 모두 정확하게 구할 수 있어야 합니다.

💡 넓이 구하기 3단계 마스터

• [Step 1] 꼭짓점의 좌표 모두 구하기:
  - 교점: 두 일차방정식을 연립하여 풀어 해 $(x, y)$를 구합니다.
  - 절편: 각 방정식에 $y=0$을 대입하여 $x$절편을, $x=0$을 대입하여 $y$절편을 구합니다.
• [Step 2] 밑변의 길이 찾기:
  - $x$축(또는 $y$축) 위에 있는 두 점 사이의 거리가 밑변이 됩니다. (큰 좌표 값에서 작은 좌표 값을 빼서 길이를 구합니다.)
• [Step 3] 높이 찾기:
  - 교점에서 밑변에 내린 수선의 길이가 높이입니다. 밑변이 $x$축 위에 있으면 교점의 $y$좌표의 절댓값이, 밑변이 $y$축 위에 있으면 교점의 $x$좌표의 절댓값이 높이가 됩니다.

2. 오늘의 문제

3. 해설 및 풀이

그래프에 표시된 점 $\text{A, B, C, D, E}$의 좌표를 하나씩 찾아 넓이를 계산해 봅시다.

Step 1. 교점 $\text{A}$의 좌표 구하기
두 방정식을 연립하여 풉니다.
(1) $x + y = -5$
(2) $-x + y = -1$
두 식을 더하면 $2y = -6 \Rightarrow \mathbf{y = -3}$
$y = -3$을 (1)식에 대입하면 $x - 3 = -5 \Rightarrow \mathbf{x = -2}$
따라서 교점 $\text{A}$의 좌표는 $(-2, -3)$ 입니다.

Step 2. 각 직선의 $x$절편, $y$절편 구하기
* 직선 (1) $x + y = -5$ : ($y = -x - 5$)
- $y=0$ 대입 $\Rightarrow x = -5$. 점 $\text{B}$의 좌표는 $\mathbf{(-5, 0)}$
- $x=0$ 대입 $\Rightarrow y = -5$. 점 $\text{D}$의 좌표는 $\mathbf{(0, -5)}$
* 직선 (2) $-x + y = -1$ : ($y = x - 1$)
- $y=0$ 대입 $\Rightarrow x = 1$. 점 $\text{C}$의 좌표는 $\mathbf{(1, 0)}$
- $x=0$ 대입 $\Rightarrow y = -1$. 점 $\text{E}$의 좌표는 $\mathbf{(0, -1)}$

Step 3. $\triangle \text{ABC}$ 의 넓이 구하기
* 밑변($\text{BC}$): $x$축 위의 두 점 $(-5, 0)$과 $(1, 0)$ 사이의 거리 $\Rightarrow 1 - (-5) = \mathbf{6}$
* 높이: 점 $\text{A}(-2, -3)$에서 $x$축까지의 거리 (교점의 $y$좌표 절댓값) $\Rightarrow |-3| = \mathbf{3}$
* 넓이: $\frac{1}{2} \times 6 \times 3 = \mathbf{9}$

Step 4. $\triangle \text{ADE}$ 의 넓이 구하기
* 밑변($\text{DE}$): $y$축 위의 두 점 $(0, -5)$와 $(0, -1)$ 사이의 거리 $\Rightarrow -1 - (-5) = \mathbf{4}$
* 높이: 점 $\text{A}(-2, -3)$에서 $y$축까지의 거리 (교점의 $x$좌표 절댓값) $\Rightarrow |-2| = \mathbf{2}$
* 넓이: $\frac{1}{2} \times 4 \times 2 = \mathbf{4}$

Step 5. 두 삼각형의 넓이의 차 구하기
$$ \triangle \text{ABC} - \triangle \text{ADE} = 9 - 4 = \mathbf{5} $$

정답

③

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