[중2 수학] 일차함수: 그래프가 도형(사각형)과 만나기 위한 y절편의 범위 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 일차함수 그래프가 도형과 만날 조건

기울기가 고정되어 있고 $y$절편이 미지수인 일차함수 $y = ax + b$ 의 그래프는 $b$의 값이 변함에 따라 기울기를 유지한 채 위아래로 평행이동하게 됩니다. 이 직선이 특정 다각형과 만나려면, 다각형의 꼭짓점들을 지날 때의 $b$값을 구해 그 최댓값과 최솟값 사이의 범위를 찾으면 됩니다.

💡 문제 해결 3단계

• [Step 1] 식 변형하기 (꿀팁!):
  $y = ax + b$ 의 식을 미지수 $b$ 에 대하여 정리하면 대입하여 계산하기가 훨씬 수월합니다. (예: $b = y - ax$)
• [Step 2] 꼭짓점 대입하기:
  도형의 각 꼭짓점의 좌표를 Step 1에서 만든 식에 각각 대입하여, 그 점을 지날 때의 $y$절편($b$) 값을 모두 구합니다.
• [Step 3] 최댓값과 최솟값으로 범위 정하기:
  구해낸 $b$의 값들 중에서 가장 큰 값이 최댓값($n$), 가장 작은 값이 최솟값($m$)이 됩니다. 직선은 이 두 값 사이를 지날 때 도형과 만나게 됩니다. ($m \le b \le n$)

2. 오늘의 문제

3. 해설 및 풀이

기울기가 $-1$인 직선을 위아래로 움직여 사각형과 만나는 경계선을 찾아봅시다.

Step 1. $y$절편 $b$에 대한 식으로 정리하기
계산을 편하게 하기 위해 주어진 식 $y = -x + b$ 를 $b$ 에 대하여 정리합니다.
$$ -x \text{ 를 이항하면} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{b = x + y} $$
Step 2. 각 꼭짓점을 지날 때의 $b$ 값 구하기
사각형의 꼭짓점 4개를 $b = x + y$ 에 차례대로 대입해 봅니다.
* 점 $\text{A}(-2, 3)$ 을 지날 때: $b = -2 + 3 = \mathbf{1}$
* 점 $\text{B}(1, 1)$ 을 지날 때: $b = 1 + 1 = \mathbf{2}$
* 점 $\text{C}(3, -3)$ 을 지날 때: $b = 3 + (-3) = \mathbf{0}$
* 점 $\text{D}(-3, 0)$ 을 지날 때: $b = -3 + 0 = \mathbf{-3}$

Step 3. $b$의 범위와 $m+n$ 구하기
직선이 사각형과 만나려면 가장 높이 올라갔을 때의 $y$절편과 가장 낮게 내려갔을 때의 $y$절편 사이를 지나야 합니다.
구해낸 $b$의 값들 $(-3, 0, 1, 2)$ 중,
* 가장 큰 값 (최댓값): $\mathbf{n = 2}$ (점 $\text{B}$를 지날 때)
* 가장 작은 값 (최솟값): $\mathbf{m = -3}$ (점 $\text{D}$를 지날 때)
따라서 부등식의 범위는 $-3 \le b \le 2$ 가 됩니다.

최종적으로 $m + n$ 의 값을 계산합니다.
$$ m + n = -3 + 2 = \mathbf{-1} $$

정답

$-1$

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