[중2 수학] 일차함수: 그래프의 성질 (평행이동, 기울기, 절편, 사분면) 연습문제 프린트 학습지

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1. 일차함수 $y = ax + b$ 의 그래프 성질 완벽 해부

일차함수의 식은 크게 기울기($a$)와 $y$절편($b$)으로 이루어져 있습니다. 이 두 가지 값의 부호만 알아도 그래프가 어떻게 생겼는지, 어느 사분면을 지나는지 완벽하게 파악할 수 있습니다.

💡 그래프 성질 분석 포인트

• [1] 기울기($a$)의 역할:
  - $a > 0$ 이면 오른쪽 위로 향하는 직선 ($x$가 증가할 때 $y$도 증가)
  - $a < 0$ 이면 오른쪽 아래로 향하는 직선 ($x$가 증가할 때 $y$는 감소)
• [2] 평행이동과 $y$절편($b$):
  - $y = ax + b$ 의 그래프는 $y = ax$ 의 그래프를 $y$축 방향으로 $b$만큼 그대로 평행이동한 것입니다.
  - $b$는 그래프가 $y$축과 만나는 점이므로, $b > 0$ 이면 위쪽에서, $b < 0$ 이면 아래쪽에서 만납니다.
• [3] 점이 직선 위에 있는지 확인:
  - 주어진 점의 좌표를 식에 대입했을 때 등식이 성립하면 지나는 것이고, 성립하지 않으면 지나지 않는 것입니다.

2. 오늘의 문제

일차함수 $f(x) = -x - 2$에 대한 설명으로 옳은 것은?

① $y = -x$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동 시킨 그래프이다.
② $x$의 값이 증가하면 $y$의 값은 증가한다.
③ 제4사분면을 지나지 않는다.
④ $x$절편은 음수이고, $y$절편은 양수이다.
⑤ 점 $(-1, -1)$을 지난다.

3. 해설 및 풀이

각 보기의 내용을 일차함수의 성질과 비교하며 꼼꼼히 확인해 봅시다.

① 평행이동 분석: (거짓)
$y = -x - 2$의 그래프는 기본 형태인 $y = -x$의 그래프를 $y$축 방향으로 상수항인 $-2$만큼 평행이동한 것입니다. ($-1$만큼이 아님)

② 증가/감소 분석: (거짓)
기울기가 $-1$이므로 $a < 0$ 인 경우입니다. 따라서 오른쪽 아래로 향하는 직선이며, $x$의 값이 증가하면 $y$의 값은 감소합니다.

③ 지나는 사분면 분석: (거짓)
그래프를 대략 그려보면 쉽게 알 수 있습니다. $y$절편이 $-2$이므로 $y$축의 아랫부분을 지나고, 기울기가 음수이므로 오른쪽 아래로 향합니다. 따라서 제2, 3, 4사분면을 지납니다. (제1사분면을 지나지 않음)

④ $x$절편, $y$절편 분석: (거짓)
* $y$절편은 식에서 바로 알 수 있듯 $-2$ (음수) 입니다.
* $x$절편은 $y=0$을 대입하면 $0 = -x - 2 \Rightarrow x = -2$ 이므로 $-2$ (음수) 입니다.
따라서 $y$절편이 양수라는 설명은 틀렸습니다.

⑤ 지나는 점 대입: (참)
점 $(-1, -1)$이 그래프 위의 점인지 확인하려면 식에 대입해 보면 됩니다.
$x = -1$ 을 대입하면 $f(-1) = -(-1) - 2 = 1 - 2 = -1$ 이 됩니다.
$y$값 역시 $-1$이 나오므로, 이 직선은 점 $(-1, -1)$을 지나는 것이 맞습니다.

정답

⑤

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