[중2 수학] 일차함수: 평행 조건과 x절편을 이용한 일차함수 식 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 일차함수의 평행과 절편의 의미

일차함수의 식 $y = ax + b$ 를 완성하기 위해서는 두 가지 힌트가 필요합니다. 하나는 그래프의 기울어진 정도인 '기울기($a$)'이고, 다른 하나는 그래프의 위치를 결정하는 '지나는 점(절편 등)'입니다.

💡 문제 해결의 핵심 키워드

• [1] "두 그래프가 평행하다"
  - 두 일차함수의 그래프가 평행하다는 것은 직선이 기울어진 정도가 똑같다는 뜻입니다.
  - 즉, 두 식의 기울기($x$의 계수)가 서로 같습니다.
• [2] "x절편이 동일하다"
  - $x$절편은 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표입니다. $y$값이 $0$일 때의 $x$값을 찾으면 됩니다.
  - $x$절편이 동일하면 기준이 되는 식의 $x$절편을 구한 뒤 그 좌표(예: $(m, 0)$)를 내가 구하려는 식에 대입할 수 있습니다.

2. 오늘의 문제

일차함수 $y = -\frac{5}{4}x + 1$의 그래프와 평행하고, $y = \frac{3}{5}x - 3$의 그래프와 $x$절편이 동일한 일차함수 $f(x) = ax + b$가 있을 때, $a + b$의 값은?

① $1$        ② $2$        ③ $3$

④ $4$        ⑤ $5$

3. 해설 및 풀이

주어진 두 가지 조건을 하나씩 해석하여 미지수 $a$와 $b$를 구해봅시다.

Step 1. 평행 조건을 이용하여 기울기 $a$ 구하기
구하고자 하는 함수 $f(x) = ax + b$ 가 $y = -\frac{5}{4}x + 1$ 의 그래프와 평행합니다.
평행한 두 직선은 기울기가 같으므로 $x$의 계수인 $a$의 값은 바로 나옵니다.
$$ \mathbf{a = -\frac{5}{4}} $$ 따라서 우리가 구하려는 식은 $f(x) = -\frac{5}{4}x + b$ 가 됩니다.

Step 2. $x$절편을 구하여 지나는 점 찾기
우리가 찾는 식은 $y = \frac{3}{5}x - 3$ 의 그래프와 $x$절편이 같습니다.
먼저 $y = \frac{3}{5}x - 3$ 의 $x$절편을 구하기 위해 $y = 0$ 을 대입합니다.
$$ 0 = \frac{3}{5}x - 3 $$ $$ \frac{3}{5}x = 3 $$ $$ x = 3 \times \frac{5}{3} = 5 $$ 즉, $x$절편이 $5$이므로 우리가 구하려는 함수는 점 $\mathbf{(5, 0)}$ 을 지납니다.

Step 3. 상수항 $b$ 구하기 및 최종 계산
이제 점 $(5, 0)$ 을 앞서 만든 식 $f(x) = -\frac{5}{4}x + b$ 에 대입합니다.
$$ 0 = -\frac{5}{4} \times 5 + b $$ $$ 0 = -\frac{25}{4} + b $$ $$ \mathbf{b = \frac{25}{4}} $$
마지막으로 $a + b$ 의 값을 계산합니다.
$$ a + b = -\frac{5}{4} + \frac{25}{4} = \frac{20}{4} = \mathbf{5} $$

정답

⑤

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