[중3 수학] 이차함수: 두 이차함수 그래프의 평행이동한 정도 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 이차함수 일반형의 평행이동: "꼭짓점"만 비교하기

두 이차함수 그래프가 평행이동하여 완전히 겹쳐지려면, 먼저 그래프의 모양과 폭을 결정하는 이차항의 계수($a$)가 서로 같아야 합니다. 두 식을 각각 표준형으로 바꾸어 '꼭짓점이 얼만큼 이동했는지'만 비교하면 답을 찾을 수 있습니다.

💡 문제 해결 3단계

• [Step 1] 이동 전 꼭짓점 구하기: 원래 주어진 이차함수의 식을 완전제곱식으로 변형하여 이동 전 꼭짓점의 좌표를 구합니다.
• [Step 2] 이동 후 꼭짓점 구하기: 평행이동한 후의 이차함수 식 역시 완전제곱식으로 변형하여 이동 후 꼭짓점의 좌표를 구합니다.
• [Step 3] 꼭짓점의 이동량 비교하기: $x$좌표가 얼만큼 변했는지, $y$좌표가 얼만큼 변했는지 차이를 계산하여 각각 $x$축, $y$축 방향의 평행이동 정도를 알아냅니다.

2. 오늘의 문제

이차함수 $y = x^2 - 4x + 5$의 그래프를 평행이동하였더니 $y = x^2 + 6x + 12$의 그래프와 겹쳐졌다. 함수의 그래프를 $x$축, $y$축으로 얼만큼 평행이동하였는지 구하시오.

3. 해설 및 풀이

두 함수의 식을 각각 완전제곱식(표준형)으로 고쳐 꼭짓점의 좌표를 비교해 봅시다.

Step 1. 이동 전 꼭짓점 구하기
$$ y = x^2 - 4x + 5 $$ $$ y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5 $$ $$ y = (x - 2)^2 + 1 $$ $\Rightarrow$ 이동 전 그래프의 꼭짓점은 $(2, 1)$ 입니다.

Step 2. 이동 후 꼭짓점 구하기
$$ y = x^2 + 6x + 12 $$ $$ y = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 12 $$ $$ y = (x + 3)^2 + 3 $$ $\Rightarrow$ 이동 후 그래프의 꼭짓점은 $(-3, 3)$ 입니다.

Step 3. 평행이동한 양 계산하기
그래프 전체가 평행이동하면 꼭짓점도 똑같이 평행이동합니다. 점 $(2, 1)$이 점 $(-3, 3)$으로 어떻게 변했는지 확인합니다.
* $x$축 방향 이동량: $2$에서 $-3$이 되었으므로, $-3 - 2 = \mathbf{-5}$
* $y$축 방향 이동량: $1$에서 $3$이 되었으므로, $3 - 1 = \mathbf{2}$

따라서 이 그래프는 $x$축의 방향으로 $-5$만큼, $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동하였습니다.

정답

$x$축의 방향으로 $-5$만큼, $y$축의 방향으로 $2$만큼

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