[중3 수학] 이차함수: 축의 방정식과 최솟값이 주어질 때 미지수 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 축의 방정식과 최솟값은 곧 '꼭짓점'이다!

이차함수 문제에서 축의 방정식과 최솟값(또는 최댓값)이 동시에 주어졌다면, 사실상 꼭짓점의 좌표를 대놓고 알려준 것과 같습니다. 이 정보를 바탕으로 이차함수의 표준형 식을 바로 세울 수 있습니다.

💡 문제 해결 3단계

• [Step 1] 꼭짓점 좌표 찾기: 이차함수의 축의 방정식이 $x = p$이고, 최솟값(또는 최댓값)이 $q$라면 이 함수의 꼭짓점의 좌표는 $(p, q)$가 됩니다.
• [Step 2] 표준형 식 세우기: 찾아낸 꼭짓점 $(p, q)$와 문제에 주어진 이차항의 계수 $a$를 이용하여 $y = a(x - p)^2 + q$ 형태로 이차함수의 식을 완성합니다.
• [Step 3] 일반형으로 전개하여 비교하기: 완성된 표준형 식을 전개하여 일반형($y = ax^2 + bx + c$)으로 만든 뒤, 문제의 원래 식과 계수들을 하나씩 비교하여 미지수를 구합니다.

2. 오늘의 문제

이차함수 $y = \frac{3}{2}x^2 - 5ax + b$ 의 축의 방정식이 $x = -2$이고 최솟값이 $-1$일 때, 실수 $a, b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.

3. 해설 및 풀이

주어진 정보들을 결합하여 꼭짓점을 파악하고 식을 만들어 봅시다.

Step 1. 꼭짓점의 좌표 확인하기
축의 방정식이 $x = -2$ 이고 최솟값이 $-1$이므로, 이 이차함수의 꼭짓점의 좌표는 $(-2, -1)$ 입니다.

Step 2. 꼭짓점을 이용하여 이차함수 식 세우기
이차항의 계수는 원래 식에 주어지기를 $\frac{3}{2}$ 입니다.
꼭짓점 $(-2, -1)$과 계수 $\frac{3}{2}$를 이용하여 표준형 식을 세웁니다.
$$ y = \frac{3}{2}(x + 2)^2 - 1 $$
Step 3. 식을 전개하여 $a, b$ 값 구하기
위 식을 전개하여 문제의 식과 비교합니다.
$$ y = \frac{3}{2}(x^2 + 4x + 4) - 1 $$ $$ y = \frac{3}{2}x^2 + 6x + 6 - 1 $$ $$ y = \frac{3}{2}x^2 + 6x + 5 $$
이제 이 식을 문제의 원래 식인 $y = \frac{3}{2}x^2 - 5ax + b$ 와 비교합니다.
* $x$의 계수 비교: $-5a = 6 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{a = -\frac{6}{5}}$
* 상수항 비교: $\mathbf{b = 5}$

Step 4. $ab$ 의 값 계산하기
따라서 구하고자 하는 $ab$의 값은 다음과 같습니다.
$$ ab = \left(-\frac{6}{5}\right) \times 5 = \mathbf{-6} $$

정답

$-6$

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