[중3 수학] 이차함수: 꼭짓점과 한 점이 주어질 때 이차함수 식 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 꼭짓점과 지나는 한 점을 알 때 이차함수 식 구하기

이차함수의 꼭짓점의 좌표가 주어지면, 이차함수의 일반형($y = ax^2 + bx + c$)이 아닌 표준형($y = a(x - p)^2 + q$)을 사용하여 식을 세우는 것이 훨씬 빠르고 정확합니다. 꼭짓점의 좌표가 바로 $(p, q)$이기 때문입니다.

💡 문제 해결 3단계

• [Step 1] 표준형으로 식 세우기: 꼭짓점의 좌표 $(p, q)$를 이차함수의 표준형 $y = a(x - p)^2 + q$ 에 대입하여 식의 뼈대를 만듭니다. (이때 이차항의 계수 $a$는 아직 모르는 상태입니다.)
• [Step 2] 지나는 한 점 대입하여 $a$ 구하기: 그래프가 지나는 다른 한 점의 좌표를 Step 1에서 세운 식의 $x, y$ 자리에 대입합니다. 이 방정식을 풀면 미지수 $a$의 값을 구할 수 있습니다.
• [Step 3] 일반형으로 전개하기 (필요시): 문제의 보기가 일반형 $y = ax^2 + bx + c$ 로 주어졌다면, 구한 $a$ 값을 넣은 완성된 식을 괄호를 풀어 전개해 줍니다.

2. 오늘의 문제

꼭짓점의 좌표가 $(2, -8)$이고 점 $(1, -6)$을 지나는 이차함수 $y = ax^2 + bx + c$를 구하면?

① $y = 2x^2 - 8x$
② $y = 2x^2 - 16x$
③ $y = -2x^2 - 16x$
④ $y = 2x^2 + 8x$
⑤ $y = -2x^2 - 8x$

3. 해설 및 풀이

Step 1. 꼭짓점의 좌표를 이용하여 식 세우기
꼭짓점의 좌표가 $(2, -8)$이므로 이차함수의 식을 다음과 같이 표준형으로 둘 수 있습니다.
$$ y = a(x - 2)^2 - 8 $$
Step 2. 지나는 점을 대입하여 $a$의 값 구하기
이 그래프가 점 $(1, -6)$을 지나므로, $x=1, y=-6$을 식에 대입합니다.
$$ -6 = a(1 - 2)^2 - 8 $$ $$ -6 = a(-1)^2 - 8 $$ $$ -6 = a - 8 $$ $$ a = -6 + 8 $$ $$ \therefore \mathbf{a = 2} $$
이제 $a=2$를 대입하면 이차함수의 완전한 식은 $y = 2(x - 2)^2 - 8$ 이 됩니다.

Step 3. 식을 전개하여 일반형으로 나타내기
문제의 보기가 일반형이므로 괄호를 풀어 식을 정리해 줍니다.
$$ y = 2(x^2 - 4x + 4) - 8 $$ $$ y = 2x^2 - 8x + 8 - 8 $$ $$ \therefore \mathbf{y = 2x^2 - 8x} $$
따라서 구하고자 하는 이차함수의 식은 $y = 2x^2 - 8x$ 입니다.

정답

①

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