[중3 수학] 이차함수: x축, y축 평행이동 한 후의 이차함수식 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 이차함수 그래프의 평행이동 개념 정리

어떤 그래프를 모양이나 방향을 바꾸지 않고, 일정한 거리만큼 밀어서 이동시키는 것을 평행이동이라고 합니다.

이차함수의 식을 평행이동 시킬 때는 $x$대신 무엇을, $y$대신 무엇을 대입해야 하는지 규칙만 알면 새로운 식을 구할 수 있습니다.

💡 평행이동의 핵심 규칙

• [1] $x$축의 방향으로 $p$만큼 평행이동:
  식의 $x$ 대신 $(x - p)$ 를 대입합니다. (부호가 반대로 들어가는 것에 주의하세요!)
• [2] $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동:
  식의 $y$ 대신 $(y - q)$ 를 대입합니다. 이를 우변으로 이항하면 결국 식의 맨 뒤에 $+q$를 붙이는 것과 같습니다.
• [3] 동시에 평행이동 ($x$축으로 $p$, $y$축으로 $q$만큼):
  $y = ax^2$ 의 그래프를 이동시키면 $\Rightarrow$ $y = a(x - p)^2 + q$ 가 됩니다.
  (이때 평행이동을 하더라도 그래프의 모양과 폭을 결정하는 $a$의 값은 변하지 않습니다.)

2. 오늘의 문제

이차함수 $y = -3x^2 - 2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 3만큼, $y$축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 그래프의 식이 $y = a(x - p)^2 + q$일 때, $a + p + q$의 값은?

① $-7$
② $-6$
③ $-5$
④ $-4$
⑤ $-3$

3. 해설 및 풀이

평행이동의 규칙에 따라 차근차근 대입해 봅시다.

Step 1. 평행이동 한 식 구하기
원래 식: $y = -3x^2 - 2$
* $x$축의 방향으로 $3$만큼 $\Rightarrow$ $x$ 대신 $(x - 3)$ 대입
* $y$축의 방향으로 $-2$만큼 $\Rightarrow$ 식 전체에 $(-2)$ 더하기

변경된 식을 작성하면 다음과 같습니다.
$y = -3(x - 3)^2 - 2 - 2$
$y = -3(x - 3)^2 - 4$

Step 2. $a, p, q$의 값 찾기
우리가 구한 식 $y = -3(x - 3)^2 - 4$ 를 문제에서 제시한 형태인 $y = a(x - p)^2 + q$ 와 비교합니다.
* $a$ (이차항의 계수) = $\mathbf{-3}$
* $(x - p)$ 와 $(x - 3)$ 을 비교하면 $p$ = $\mathbf{3}$
* $q$ (상수항) = $\mathbf{-4}$

Step 3. $a + p + q$ 의 값 계산하기
$\therefore a + p + q = (-3) + 3 + (-4) = \mathbf{-4}$

※ 실수가 많은 부분이에요!
$p$의 값을 찾을 때 괄호 안의 부호를 잘 보셔야 합니다. 식의 형태가 $(x - p)^2$ 로 마이너스 부호가 기본적으로 들어가 있으므로, $(x - 3)^2$ 이라면 $p$의 값은 $-3$이 아니라 $+3$ 입니다.

정답

④

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