고등 수학 > 확률과통계 > 순열과 조합 > 같은 것이 있는 순열 > 최단 거리로 가는 방법의 수와 그 원리, 프린트 학습지

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고등 수학 > 확률과통계 > 순열과 조합 > 같은 것이 있는 순열 > 최단 거리로 가는 방법의 수

 

같은 것이 있는 순열에서 빠지지 않고 등장하는 문제가 바로 A지점에서 B지점으로 가는 최단거리의 방법의 수 문제입니다. 왜 같은 것이 있는 순열 단원에서 최단거리로 가는 방법을 묻는 문제가 나오는 걸까요? 그 원리에 대해서 문제를 풀면서 이야기하도록 할게요.

 

다음과 같은 문제가 있다고 해볼게요. 

A지점에서 B지점으로 가는 방법을 찾는 문제입니다. 길을 찾아가는 2가지 방법을 찾아보면 다음과 같아요. 

두 가지 방법에서 어떤 규칙이 있는지 살펴보면, 오른쪽으로 이동하는 횟수와 위쪽으로 이동하는 횟수가 동일하다는 것을 알 수 있어요. 

다음과 같이 비교해보면 오른쪽은 3칸, 위쪽은 4칸 이동하는 건 공통이에요. 

 

오른쪽 방향을 a, 위쪽 방향을 b라고 치환하여 표현하면, a a a b b b b 라는 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수와 최단거리를 찾는 방법의 수가 일치한다는 걸 알 수 있습니다. 이것이 최단거리로 가는 방법의 수를 찾는 원리가 같은 것이 있는 순열인 이유입니다. 

따라서 이 문제의 풀이는 다음과 같습니다. 

 

 

이번에는 A지점에서 P지점을 거쳐서 B지점으로 가는 방법의 수를 찾는 문제를 풀어보도록 할게요. 

A지점에서 P지점을 거쳐 B지점으로 가는 방법은 문제를 쪼개어 생각해보는거에요. 

  1) A지점에서 P지점으로 가는 방법의수

  2) P지점에서 B지점으로 가는 방법의 수

를 구한다음, 1) 과 2) 의 방법의 수를 (더한다, 곱한다) 해야해요. 이때 과연 두 경우의 수를 더해야 할까요 곱해야 할까요?

정답은 곱한다예요. 경우의 수를 계산할 때, '합의 법칙'과 '곱의 법칙'이 있다는 것을 아시죠? 합의 법칙을 사용하는 기준은 '동시에 일어날 수 없을 때' 이고, 곱의 법칙을 이용하는 기준은 '동시에 일어날 때'입니다. 

위 문제에서는 A지점에서 P지점을 가는 것과 P지점에서 B지점으로 가는 일련의 행위가 '동시에 일어날 수 있다'입니다. 양립할 수 있다는 말과 같아요. 따라서 곱해서 경우의 수를 구한답니다. 

따라서 풀이는 다음과 같습니다. 

 

이렇게 하여 같은 것이 있는 순열 단원의 유형 중 하나인 최단거리로 이동하는 방법의 수에 대한 문제를 풀면서 그 원리에 대해서 살펴봤습니다. 

더 많은 문제를 풀기 위해서는 '모두매쓰' 사이트에서 고등 > 확률과 통계 > 순열과 조합 에서 문제 유형을 클릭하시면 됩니다. 

그럼 좋은 하루되세요~