[중3 수학] 이차함수: 세 점이 주어질 때 이차함수의 식과 꼭짓점 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 그래프 위의 세 점이 주어질 때 이차함수 식 구하기

꼭짓점이나 축의 방정식 없이 단순히 그래프가 지나는 세 점의 좌표만 주어졌을 때는, 이차함수의 일반형인 $y = ax^2 + bx + c$ 에 세 점을 대입합니다. 그 후 세 식을 연립방정식으로 풉니다.

💡 문제 해결 3단계

• [Step 1] 일반형에 세 점 대입하기: 이차함수의 식을 $y = ax^2 + bx + c$ 로 놓고, 주어진 세 점의 $x, y$ 좌표를 각각 대입하여 3개의 식을 만듭니다.
• [Step 2] 연립방정식 풀기: 만들어진 3개의 식을 연립하여 $a, b, c$의 값을 구합니다. (보통 두 식씩 짝지어 빼주면 상수항 $c$가 소거되어 $a, b$에 대한 연립방정식으로 쉽게 바꿀 수 있습니다.)
• [Step 3] 꼭짓점 좌표 구하기 (표준형 변환): 구한 $a, b, c$ 값을 대입하여 식을 완성한 후, 완전제곱식 꼴인 $y = a(x - p)^2 + q$ 로 변형하여 꼭짓점 $(p, q)$를 구합니다.

2. 오늘의 문제

세 점 $(-5, 0)$, $(-3, -8)$, $(-4, -5)$를 지나는 이차함수의 꼭짓점의 좌표를 구하면?

① $(-2, 1)$
② $(2, -9)$
③ $(-2, -1)$
④ $(-2, -9)$
⑤ $(2, 9)$

3. 해설 및 풀이

Step 1. 이차함수의 일반형에 세 점 대입하기
이차함수의 식을 $y = ax^2 + bx + c$ 로 놓습니다.
* 점 $(-5, 0)$ 대입: $0 = 25a - 5b + c \quad \cdots \ $ ㉠
* 점 $(-3, -8)$ 대입: $-8 = 9a - 3b + c \quad \cdots \ $ ㉡
* 점 $(-4, -5)$ 대입: $-5 = 16a - 4b + c \quad \cdots \ $ ㉢

Step 2. 연립방정식을 풀어 $a, b, c$ 구하기
먼저 $c$를 소거하기 위해 두 식씩 짝지어 빼줍니다.
* ㉠ - ㉡:
$(25a - 5b + c) - (9a - 3b + c) = 0 - (-8)$
$16a - 2b = 8 \quad \Rightarrow \quad 8a - b = 4 \quad \cdots \ $ ㉣
* ㉡ - ㉢:
$(9a - 3b + c) - (16a - 4b + c) = -8 - (-5)$
$-7a + b = -3 \quad \cdots \ $ ㉤

이제 ㉣과 ㉤을 연립합니다.
㉣ 식과 ㉤ 식을 더해주면 $b$가 소거됩니다.
$(8a - b) + (-7a + b) = 4 + (-3)$
$a = 1$
$a = 1$을 ㉣ 식에 대입합니다.
$8(1) - b = 4 \quad \Rightarrow \quad b = 4$
$a = 1, b = 4$를 ㉠ 식에 대입합니다.
$0 = 25(1) - 5(4) + c$
$0 = 25 - 20 + c \quad \Rightarrow \quad c = -5$

따라서 이차함수의 식은 $y = x^2 + 4x - 5$ 입니다.

Step 3. 식을 표준형으로 고쳐서 꼭짓점 구하기
구한 식을 완전제곱식으로 변형합니다.
$$y = x^2 + 4x - 5$$ $$y = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 5$$ $$y = (x + 2)^2 - 9$$
이차함수가 $y = (x + 2)^2 - 9$ 로 정리되므로, 꼭짓점의 좌표는 $(-2, -9)$가 됩니다.

정답

④

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