[중3 수학] 이차함수: 이차항의 계수의 절댓값과 폭의 크기 관계 연습문제 프린트 학습지

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1. 이차함수 그래프의 폭을 결정하는 요소

이차함수 $y = ax^2 + bx + c$ 에서 그래프(포물선)의 폭을 결정하는 것은 오직 이차항의 계수 $a$ 뿐입니다. 평행이동을 나타내는 나머지 부분들은 그래프의 위치만 바꿀 뿐, 모양이나 폭에는 영향을 주지 않습니다.

💡 절댓값 $|a|$와 그래프의 폭

• [1] $|a|$가 클수록: 그래프의 폭이 좁아집니다. ($y$값이 훨씬 빠르게 증가하거나 감소하기 때문입니다.)
• [2] $|a|$가 작을수록: 그래프의 폭이 넓어집니다.
• [3] $a$의 부호(+, -): 부호는 그래프가 볼록한 방향(아래로 볼록인지, 위로 볼록인지)만 결정할 뿐, 폭의 넓고 좁음과는 무관합니다. 따라서 폭을 비교할 때는 반드시 절댓값을 씌워 양수로 만든 뒤 비교해야 합니다.

2. 오늘의 문제

이차함수의 그래프를 폭이 좁은 것부터 차례대로 나열한 것은?

ㄱ. $y = -\frac{3}{4}x^2$
ㄴ. $y = \frac{1}{3}(x+1)^2$
ㄷ. $y = x^2$
ㄹ. $y = \frac{2}{3}(x+\frac{3}{2})^2$

3. 해설 및 풀이

그래프의 폭이 가장 좁은 것을 찾으려면 이차항의 계수의 절댓값($|a|$)이 가장 큰 것부터 순서대로 나열하면 됩니다.

Step 1. 각 보기의 이차항의 계수($a$)와 그 절댓값($|a|$) 구하기
* ㄱ. $y = -\frac{3}{4}x^2$ $\rightarrow$ $a = -\frac{3}{4}$, $|a| = \frac{3}{4} = 0.75$
* ㄴ. $y = \frac{1}{3}(x+1)^2$ $\rightarrow$ $a = \frac{1}{3}$, $|a| = \frac{1}{3} \approx 0.33$
* ㄷ. $y = x^2$ $\rightarrow$ $a = 1$, $|a| = 1$
* ㄹ. $y = \frac{2}{3}(x+\frac{3}{2})^2$ $\rightarrow$ $a = \frac{2}{3}$, $|a| = \frac{2}{3} \approx 0.67$

Step 2. 절댓값의 크기 비교하기
구한 절댓값들을 큰 수부터 차례대로 나열해 봅니다.
$$ 1 > \frac{3}{4} > \frac{2}{3} > \frac{1}{3} $$
Step 3. 폭이 좁은 순서대로 나열하기
절댓값이 클수록 폭이 좁으므로, 가장 좁은 것부터 나열하면 ㄷ, ㄱ, ㄹ, ㄴ 순서가 됩니다.

정답

ㄷ, ㄱ, ㄹ, ㄴ

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