중1 수학 > 자연수 > 소인수분해 용어에 대해 자세히 알아보기, 프린트 학습지

중1 수학 > 자연수 > 소인수분해 용어에 대해 자세히 알아보기, 프린트 학습지

 
중학교 교과서에서 가장 먼저 나오는 개념이 '자연수'예요. 초등학교 6년 동안 자연수를 가지고 수 많은 계산을 하고 공부를 했지만, 정작 자연수에 대한 탐구는 하지 않은 셈인데요.
 
자연수는 쉽게 말해 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ... 과 같은 수를 말해요.
그런데 더 이상 자연수에 대해 무엇을 알아야 할까요? 
 
수학자들이 자연수를 가만히 관찰해봤더니 무언가 특별한 점이 있더래요. 
 
가령, 4라는 수는 2X2, 6이라는 수는 2X3, 10은 2X5 처럼 어떤 수를 곱으로 나타낼 수 있음을 발견한거에요. 
 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, ...
 
-> 1, 2, 3, 2X2, 5, 2X3, 7, 2X2X2, 3X3, 2X5, 11, 2X2X3, 13, 2X7, 3X5, 2X2X2X2, 17, 2X3X3, 19, 2X2X5, 3X7, ...
 
이렇게 곱해지는 수를 가만히 보면 어떤 수가 자주 반복되는 느낌이 들죠? 2,3,5,7이 빈번하게 나오는게 느껴지시나요?
 
2, 3, 5, 7, 11 ... 이런 수는 다양한 자연수를 만들어내는 '바탕이 되는 수', 즉 바탕 '소'자를 써서 소수라고 부른답니다. 
소의 한잣말이 '바탕'이에요. 영어로는 Prime Number라고 하는데, Prime은 으뜸이라는 뜻을 갖고 있어요. 바탕이 된다. 으뜸이 된다 뭔가 수 중에서도 우월한 위치에 있는 느낌이죠?
 
잠깐 미술 얘기를 해볼까요? 뜬금없다고 생각할 수 있지만. 미술 시간에 '물감'을 소수에 비유하면 좋을 것 같아요. 
으뜸이 되는 색은 무엇이 있을까요? 
 
빨강, 파랑, 노랑

 
이 3개의 색이 바탕이 되는 색이에요. 가령 초록색이 필요하면 파랑 + 노랑 을 섞어요.
보라색은 어떻게 만들까요?  빨강 + 파랑 = 보라 가 됩니다. 
이처럼 다른 색을 만드는데 필요한 바탕이 되는 색인 빨강, 파랑, 노랑이 자연수에서는 '소수'와 같은 느낌이라고 보시면 돼요. 소수만 있다면 그 어떤 수도 만들어 낼 수 있는 셈이지요. 
 
다시 자연수로 돌아와서, 소수에 대해서 이야기 해볼게요. 소수인지 아닌지 구별하는 방법은 '약수의 개수'예요. 
약수란 어떤 수로 나눌 때 나머지가 없이 딱 나누어떨어지는 수를 말하죠. 
 
가령 6이라는 수가 있으면 약수는 1, 2, 3, 6 이 돼요. 약수는 4개입니다. 
이때 약수가 2개인 자연수가 바로 '소수'가 됩니다. 
 
소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... 등이 있어요. 잘 보시면 각각의 약수는 2개씩 존재합니다. 
 
2 -> 1, 2 (약수가 2개) 
3. -> 1, 3  (약수가 2개)
5 -> 1, 5  (약수가 2개)
7 -> 1, 7  (약수가 2개)
11 -> 1, 11  (약수가 2개)
13 -> 1, 13  (약수가 2개)
 
소수가 아닌 10은 2와 5의 곱으로 표현이 되지요. 20은 2 X 2 X 5 로 표현이됩니다. 어떤 수이든 소수들의 곱으로 나타낼 수 있어요. 
그럼 이즘에서 자연수의 세 가지 분류를 알아볼까요?
 

 
자연수는 1과 소수와 합성수 3가지로 분류할 수 있어요. 어떤 자연수가 있다면 저 3가지 중 하나에요.
여기서 학생들이 헷갈려하는 건 소수와 합성수의 구별이에요. 
합성수는 약수가 3개 이상인 자연수예요. 10은 합성수일까요? 네 맞아요. 왜냐하면 약수가 1, 2, 5, 10으로 3개 이상이기 때문이에요. 합성수인지 아닌지는 약수의 개수만 보면 바로 알 수 있답니다. 
(주의 - 소수가 아니면 합성수이다? (X)  소수가 아니면 1 또는 합성수이다. (O) )
           합성수가 아니면 소수이다? (X) 합성수가 아니면 1 또는 소수이다. (O) )
 
자 이렇게 자연수에 대해서 아주 자세히 알아봤는데요. 왜 이런 설명이 필요할까요? 
그건 바로 소인수분해라는 용어가 굉장히 압축된 단어이기 때문이랍니다. 
 

소인수분해에서 '소인수'는 '소수'와 '인수'를 합친 말이에요. 그러니 처음 공부하는 학생들은 소인수분해에서 '소수'가 개념에 들어간 것을 눈치채지 못할 수 있어요. (요즘 세대들 말줄임이 심하다고 하지만 어쩌면 수학이 더 심할지도?)
소수를 이제 막 겨우 배웠는데, 도대체 인수는 어디서 온 말일까요? 
 
수학 용어에 한자가 굉장히 많아요. 그래서 학생들은 용어에 대해 생각할 겨를도 없이 곧바로 문제 풀이에 들어가게 됩니다. 그리고 그게 본인들이 무시받지 않는다고 쿨하다고 생각하게 되지요. (뭘 그런 것 까지 시시콜콜 설명하지?) 라고 말이죠. 하지만 한 번쯤은 짚고 넘어가야해요. 인수라는 용어가 한 번만 나오지 않거든요? 고등학교 1학년 때 배우는 '인수정리'라는 개념에서도 인수가 나오구요. 종종 인수 개념이 등장합니다. 
 
그럼 이즘에서 '인수'를 설명해보도록 할게요. '인수'란 어떤 수를 곱의 형태로 나타낼 때, 각각을 인수라고 합니다. 
 
예를 들어볼게요. 
 
15라는 수를 여러 수의 곱으로 나타내봐요. 
 
15 = 3 X 5
 
이렇게 나타냈죠? 그럼 15의 인수를 말해보세요. 네. 3과 5입니다. 이게 인수예요. 
그럼 15의 인수는 3과 5가 전부일까요? 아니에요. 그건 인수를 정확히 모르는 거에요. 
 
15 = 1 X 15
 
이렇게 나타낼 수도 있죠? 그럼 15의 인수를 말해볼까요? 네. 1과 15입니다. 
어 그럼 이건 어때요?
 
15 = 1/2 X 30
 
15를 2분의 1과 30의 곱으로 나타냈어요. 그럼 15의 인수는? 네. 1/2 과 30 이 인수에요. 
 
하나만 더 해볼게요. 
 
50을 곱셈으로 나타내볼게요.
 
50 = 2 X 5 X 5
     = 2 X 25
     = 1 X 50 ...(등등 여러 가지로 나타낼 수 있음)
 
여기에서 50의 인수란 무엇일까요?  1, 2, 5, 25, 50 등 모두 50의 인수가 된답니다. 
 
더 깊게 들어가면 '인수'와 '약수'가 서로 같은 개념처럼 느껴질 수 있어요. 
 
50 = 2 X 25
 
라고 하면 2, 25는 50의 인수도 되지만, 약수도 된답니다. (어? 그러네?)
그럼 인수 = 약수 ? 일까요. 정답은 그렇지 않아요. 
인수는 아까봤듯이 분수(1/2)도 가능했지만. 약수는 분수를 허락하지 않아요. 그러므로 인수가 약수보다는 더 넓은 개념이랍니다. 
 
자 여기까지 읽으셨다면... 대단히 수고하셨습니다 ^^
그럼 소인수분해를 계속 해볼까요?
 
문제를 내볼게요. 
 

36을 소인수분해하시오.

 
자 36을 어떻게 하라는건가요? 소인수분해를 하라고 하네요. 
그럼 소인수분해 => 소수 + 인수 + 분해 를 해볼게요. 잠깐 '분해'라는 말은 곱셈(X)으로 나타낸다는 걸 말해요.
 
먼저 36을 곱으로 나타내야해요. 그럼 여러 인수들을 구경할 수 있겠네요. 
 
36 = 4 X 9  (36을 4와 9라는 인수로 분해한 상태)
 
자 이렇게 곱으로 나타냈더니 인수가 보이네요. 곱셈으로 분해까지 했네요. 
딱 여기까지가 인수 + 분해 한거라고 보면 맞아요. 그럼 끝난거 아닌가요?
 
아니에요! 우리는 인수분해가 아닌 '소'인수분해를 해야해요. 
그게 뭐가 다른가요? 
 
소인수 분해는 '인수'가 '소수'여야해요.그게 소인수(소수+인수)의 뜻이랍니다. 
 
36 = 4 X 9 
 
라고 하면 4와 9는 인수는 맞지만, 소수인 인수, 즉 소인수는 아니에요. 
그러니 4와 9를 더 잘게 쪼개야해요.
 
36 = 2 X 2 X 3 X 3
 
자 이렇게 더 쪼갰어요. 소수가 나올 때까지요. 여기에서 2와 3은 바로 소수이면서 동시에 인수역할을 하죠?
이게 바로 소인수 + 분해랍니다. 
 
정리하면, 
 
36 = 4 X 9  -> 인수분해(O), 소인수분해(X)
 
36 = 2 X 2 X 3 X 3 -> 인수분해(O), 소인수분해(O)
 
소인수는 무엇을 줄인 말이라고요? 네! 소수 + 인수 = 소인수 입니다. 
 
다른 예시를 더 들어볼까요?
 

120을 소인수분해 하시오.

 
120 = 3 X 40 으로 하면 될까요? 아니죠! 40은 소수가 아니니까요. 모든 인수는 소수여야 한답니다. 
 
120 = 2 X 2 X 2 X 3 X 5 (모든 인수가 소수이므로 소인수분해가 되었습니다)
 
소인수분해를 하는 방법은 소수로 계속 나누는거에요. 언제까지? 소수가 나올 때까지요. 
 
120을 예로 들면 처음에 소수인 2로 나누어봐요. 
 
120 = 2 X 60 
 
그럼 60이 아직 소수가 아니니까 60을 또 소수인 2로 나누어보는거에요. 그럼 30이 남죠?
 
 120 = 2 X 2 X 30
 
그럼 30이 또 소수가 아니니까 계속 할 수 있죠?
 
 120 = 2 X 2 X 2 X 15
 
120 = 2 X 2 X 2 X 3 X 5
 
이렇게 하다보면 마지막에 소수 5가 등장해요. 그럼 소인수분해가 끝난거랍니다. 
 
 
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그럼 좋은 하루되세요~
 

 

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