[중1 수학] 소인수분해: 어떤 자연수의 제곱이 되게 하는 가장 작은 수 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 어떤 자연수의 제곱이 되는 수(제곱수)의 특징

$4(=2^2)$, $9(=3^2)$, $36(=6^2)$과 같이 어떤 자연수를 제곱하여 만들어지는 수들을 제곱수라고 합니다. 이 제곱수들은 소인수분해를 했을 때 아주 중요한 특징을 하나 가집니다.

바로 모든 소인수의 지수가 짝수라는 것입니다!

💡 제곱수 만들기

• [Step 1] 소인수분해: 먼저 주어진 수를 소인수분해합니다.
• [Step 2] 지수가 홀수인 소인수 찾기: 지수가 홀수인 소인수가 무엇인지 찾습니다. (지수가 생략되어 있다면 지수는 $1$이므로 홀수입니다!)
• [Step 3] 짝수 만들어주기: 지수가 홀수인 소인수를 한 번 더 곱해주면 지수가 짝수가 되어 완벽한 제곱수를 만들 수 있습니다.

2. 오늘의 문제

112에 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되도록 할 때, 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는?

① 7        ② 8        ③ 9

④ 10        ⑤ 11

3. 해설 및 풀이

112에 어떤 수를 곱하여 제곱수를 만들어야 합니다. 제곱수의 성질을 이용하여 차근차근 풀어봅시다.

Step 1. 112 소인수분해 하기
112를 소인수분해하면 다음과 같습니다.
$$ 112 = 2 \times 56 = 2^2 \times 28 = 2^3 \times 14 = 2^4 \times 7 $$
Step 2. 지수가 홀수인 소인수 찾기
소인수분해 한 결과인 $2^4 \times 7$을 살펴봅시다.
* 소인수 $2$의 지수는 $4$이므로 짝수입니다.
* 소인수 $7$의 지수는 생략되어 있으므로 $1$입니다. 즉, 홀수입니다.

Step 3. 곱해야 할 가장 작은 수 구하기
모든 소인수의 지수를 짝수로 만들려면, 지수가 홀수인 $7$을 한 번 더 곱해주어야 합니다.
$112 \times \mathbf{7} = (2^4 \times 7^1) \times \mathbf{7^1} = 2^4 \times 7^2$
이렇게 하면 모든 소인수의 지수가 짝수(4와 2)가 되어 제곱수가 됩니다.
따라서 곱해야 할 가장 작은 자연수는 7입니다.

정답

①

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