중등 3학년 > 실수와 그 계산 > 유리수와 무리수의 용어에 대한 이야기

중등 3학년 > 실수와 그 계산 > 유리수와 무리수의 용어에 대한 이야기

 

이건 굉장히 중요한 이야기예요. 우리가 수학을 공부하면서 '수의 체계'를 안다는 것은 깊이 있게 수학을 이해하기 위한 가장 중요한 첫 걸음이라는 의미가 있어요. 마치 우리가 사람을 이해하기 위해 '남자'와 '여자'를 분류하는 것처럼요.

 

유리수와 무리수는 수의 체계를 이해하는 핵심적인 단어예요. 그렇다면 유리수라는 용어와 무리수라는 용어를 어떤 의미로 만든 것인지 이해할 필요가 있겠죠. 특히 유리수와 무리수라는 용어의 뜻은 분수보다 소수의 표현으로 설명해야 직관적으로 이해할 수 있습니다. 

 

유리수

 

유리수의 한자말을 살펴보면, 유리수(有理數), 즉 유(有)는 '있다. 존재하다' 라는 뜻이고, 리(理)는 '이치, 이해'라는 뜻이며, 수는 우리가 아는 수예요. 유리수의 뜻을 풀이하면 '이치가 있는 수', '이치가 존재하는 수'라는 뜻이 됩니다. 

 

이치가 존재하는 수? 왜 이런 말을 쓴걸까?

 

반대로 무리수라는 용어도 같이 봐야 이러한 실마리를 풀 수 있게 됩니다. 

무(無)란 '없다'는 뜻이므로 무리수는 '이치가 없는 수'란 말이 됩니다. 그렇다면 여기서 말하는 '이치'란 무엇일까요? 그건 바로 '규칙성'입니다. 

 

가령 다음과 같은 수가 있다고 해볼게요. 

 

1.333333333333....

 

규칙을 발견하셨나요?  저 위에 ..... 은 어떤 수가 계속 된다는 뜻일까요? 네 바로 3이 계속 온다는 '규칙성이 있다'입니다. 

다른 수를 볼까요. 

 

1.23232323232323....

 

이 수의 이치, 다시 말해 규칙성이 존재하나요? 그렇다면 유리수입니다. 

 

자 여기서 퀴즈를 하나 내겠습니다. 다음 수는 유리수일까요? 달리 말해 이치가 있을까요?

 

3.15

 

어떤 수를 소수로 나타낼 때 소수점 이하에 규칙성이 있는가

 

이것이 소수로 나타낼 때 중요한 유리수의 판단 기준이에요.(분수로 나타낼 때에는 분모, 분자 모두 정수인가로 판단) 그렇다면 3.15는 어떤 규칙성이 있을까요. 소수점 이하 둘째 자리에서 끝이 난 유한소수에 어떤 규칙성이 있는걸까요?

 

3.15 = 3.15000000000000000.....

 

네 바로 0이 끝없이 올 수 있다는 규칙성이 있어요. 

 

어? 그렇다면 3.15도 무한소수인가요? 

 

그렇지는 않아요. 무한소수라는 것은 0이 아닌 수가 끝없이 펼쳐지는 것을 말합니다. 위의 경우에는 0이 끝없이 펼쳐질 수 있지만 수의 표현으로서 의미가 없기 때문에 유한소수라고 명칭하는 거에요. 

여기서 중요한 것은 '이치', '규칙성'을 알 수 있다는 거에요. 0이 끝없이 온다는 것도 '규칙성'으로 볼 수 있다는 거에요. 

 

그렇다면 유리수가 아닌 '무리수'의 예시를 살펴보아요. 이치가 없다. 규칙이 없다.는 것이 어떤 것인지 바로 느낌적으로 알 수 있도록 '원주율(파이)'의 예시를 보겠습니다. 

pi = 3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 

9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 

 

원주율 파이를 소수로 나타내면 소수점 이하가 끝없이 펼쳐지는데요, 여기서 중요한 것은 끝없이 펼쳐지는 '무한소수'라는 개념이 아니라 '규칙'이나 '이치'가 없다는 것이 핵심입니다. 위에서는 보여드린 소수점 이하의 수는 극히 일부에 불과해요. 

 

어떤 수의 반복이나 규칙이 없는 것이 바로 이치가 없는 수, '무리수'의 뜻이랍니다. 

 

이제 정리를 해볼게요. 실수라고 부르는 수의 체계는 다음과 같답니다. 

 

실수 = 유리수 + 무리수

 

중학교 전체에서 다루는 수의 범위는 '실수'인데요, 중학교 3학년 때에야 비로소 '무리수'라는 것을 공부하면서 수의 범위가 이토록 방대하구나를 실감하게 되요. 마치 강가에서 노는 아이가 바다를 보게 되는 느낌인거죠. (그렇다면 고등학교에서 배우는 허수는 마치 우주를 보는 느낌으로 비유할 수도 있겠네요)

 

유리수와 무리수를 소수로 분류하는 것을 정리하면서 글을 마무리할게요. 

 

소수를 분류하면 다음과 같아요. 세상의 모든 소수는 다음을 벗어나지 않답니다. 

 

순환소수를 중학교 2학년 때에 '무한소수'로 배우게 되는데요, 사실 순환하지 않는 소수인 무리수는 중학교 3학년 때야 비로소 배우게 된답니다. 그러니 무한소수는 2가지로 분류된다는 것은 중3에 배우게 되니 중2때 수의 체계를 완벽히 이해하는게 어려웠던 거에요. 

 

이렇게 유리수, 무리수라는 용어의 뜻을 소수의 표현으로 알아보았습니다. 수의 체계를 정확히 이해하는 것이 수학 학습에서 가장 중요한 첫걸음이라는 것을 기억하길 바래요. 

 

그럼 오늘도 좋은 하루되세요~!