[중1 수학] 소인수분해: 1부터 100까지의 곱에서 소인수의 지수 구하기 연습문제 프린트 학습지

[중1 수학] 소인수분해: 1부터 100까지의 곱에서 소인수의 지수 구하기 연습문제 프린트 학습지

www.modoo-math.com

모두매쓰 - 무제한으로 만들어지는 인공지능 수학 문제 생성 서비스

 

1. 연속된 수의 곱에서 특정 소인수의 개수(지수) 구하기

$1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 100$처럼 1부터 연속된 자연수를 모두 곱한 수를 소인수분해 할 때, 2나 3 같은 특정 소인수가 몇 번 곱해졌는지(지수)를 구하는 문제는 중1 심화 과정에서 자주 등장합니다.

이것을 일일이 곱해서 소인수분해하는 것은 불가능합니다. 대신, 1부터 100까지의 수 중에서 해당 소수의 배수가 몇 개 있는지를 세어보는 방식으로 아주 쉽게 해결할 수 있습니다.

💡 1부터 $N$까지의 곱에서 소인수 $p$의 지수 구하는 방법

• [Step 1] 1부터 $N$까지의 자연수 중 $p$의 배수의 개수를 구합니다. (몫만 구함)
• [Step 2] $p^2$의 배수의 개수를 구합니다. ($p^2$의 배수는 $p$를 두 번씩 가지고 있기 때문에 한 번 더 세어주는 것입니다.)
• [Step 3] $p^3, p^4 \dots$ 의 배수 개수를 $N$보다 작을 때까지 계속 구합니다.
• [Step 4] 구한 몫(배수의 개수)들을 모두 더한 값이 바로 소인수 $p$의 지수가 됩니다!

2. 오늘의 문제

$1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 99 \times 100$을 소인수분해하였다. 2의 지수를 $a$, 3의 지수를 $b$라 할 때, $a + b$의 값은?

① 142        ② 143        ③ 144

④ 145        ⑤ 146

3. 해설 및 풀이

Step 1. 2의 지수 $a$ 구하기
1부터 100까지의 곱에서 2가 총 몇 번 곱해지는지 알아보기 위해, 2의 거듭제곱($2, 4, 8, 16, 32, 64$)의 배수가 100 안에 각각 몇 개 있는지 구하여 더합니다.
* 2의 배수의 개수 : $100 \div 2 = 50$개
* 4($2^2$)의 배수의 개수 : $100 \div 4 = 25$개
* 8($2^3$)의 배수의 개수 : $100 \div 8 = 12$개 (나머지 버림)
* 16($2^4$)의 배수의 개수 : $100 \div 16 = 6$개
* 32($2^5$)의 배수의 개수 : $100 \div 32 = 3$개
* 64($2^6$)의 배수의 개수 : $100 \div 64 = 1$개
$\Rightarrow$ $a = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97$

Step 2. 3의 지수 $b$ 구하기
마찬가지로 3의 거듭제곱($3, 9, 27, 81$)의 배수가 100 안에 몇 개 있는지 구하여 더합니다.
* 3의 배수의 개수 : $100 \div 3 = 33$개
* 9($3^2$)의 배수의 개수 : $100 \div 9 = 11$개
* 27($3^3$)의 배수의 개수 : $100 \div 27 = 3$개
* 81($3^4$)의 배수의 개수 : $100 \div 81 = 1$개
$\Rightarrow$ $b = 33 + 11 + 3 + 1 = 48$

Step 3. $a + b$ 계산하기
$$ a + b = 97 + 48 = \mathbf{145} $$

정답

④

#지금 모두매쓰에서 같은 유형을 무제한 생성하고 프린트해보세요

[중1 수학] 소인수분해: 1부터 100까지의 곱에서 소인수의 지수 구하기 연습문제 프린트 학습지

www.modoo-math.com 

모두매쓰 - 무제한으로 만들어지는 인공지능 수학 문제 생성 서비스