중1 수학 > 일차방정식의 풀이 > 방정식의 정의에 대한 이해, 등식의 성질을 이용한 풀이법, 프린트 학습지

중1 수학 > 일차방정식의 풀이 > 등식의 성질을 이용한 풀이법, 프린트 학습지

 

일차방정식의 해를 구하는 과정을 정확하게 이해하는 것은 무척 중요한데요, 단순히 공식처럼 문제 풀이법만 익힌다면 응용력이 길러지지 않아요. 특히 개념을 묻는 문제를 풀지 못하게 됩니다. 

이번 포스트에서는 일차방정식을 푸는 과정에서 사용되는 '등식의 성질'에 대해 문제 예시와 함께 자세히 공부하겠습니다. 

 

등식의 성질

 

등식의 성질이란 다음과 같이 4가지가 있어요. 

 

1. 양변에 같은 수를 더해도 등식의 참 또는 거짓은 변하지 않는다.

2. 양변에 같은 수를 빼도 등식의 참 또는 거짓은 변하지 않는다.

3. 양변에 같은 수를 곱해도 등식의 참 또는 거짓은 변하지 않는다.

4. 양변에 같은 수를 0이 아닌 수로 나누어도 등식의 참 또는 거짓은 변하지 않는다.

 

그럼 하나씩 예시를 통해 알아보겠습니다. 

 

만약 다음과 같은 방정식이 있다고 해볼게요. 

 

x - 3 = 7

 

x에 어떤 값을 넣으면 등식이 성립할까요? 사실 등식의 성질을 이용하지 않더라도 x 대신 10이 들어가면 등식이 성립함을 알 수 있어요. 

 

x가 10이면

 

10 - 3 = 7 (성립)

 

하지만 식이 점점 복잡해지게 되면, 어떤 수를 직관적으로 바로 알기 어렵게 되므로 응용된 문제를 풀기 어려워지겠죠. 

등식의 성질을 이용해서 x의 값을 찾아보겠습니다. 

 

1번 등식의 성질을 이용해볼게요. 

'양변에 같은 수를 더해도 등식의 참 또는 거짓은 변하지 않는다.'

 

그럼 양변에 3을 더해보면 어떨까요?

 

x - 3 + 3 = 7 + 3

 

그럼 좌변은 -3 + 3 = 0이 되므로 사라지게 되겠죠?

 

 x = 10

 

그럼 위 식은 참일까요? 사실 위 식은 참이 아닙니다. 정확히 말하면 '아직 모른다'입니다. 이게 무슨 소리냐고 하실지 모르겠지만, 고등학교 수학 시간에서는 위와 같은 식을 '조건'이라고 부르며 '참 또는 거짓'을 말할 수 있는 '명제'는 아니에요. 고등 수학(하) 시간에 '명제'에서 배우는 내용이랍니다. 

 

x = 10

 

이라는 식을 보면 사람들은 자연스럽게 '아,당연히 x가 10이구나'라고 생각을 하게 되요. 그런데 x가 10이 아닐 수도 있다는걸 생각하기 힘들죠. 즉, x는 하나의 조건이랍니다. x가 만약 5이면, 위 등식은 '거짓'이 되는 등식이 됩니다. 

 

x가 5이면 x = 10 은 거짓인 등식

 

그럼 x가 10이면 어떨까요?

 

 x가 10이면 x = 10 은 참인 등식

 

그리고 등식이 참이 될때 x의 값을 '해(또는 근)'라고 부른답니다. 따라서 방정식의 정의가 중요하답니다.

 

방정식의 정의 

방정식이란 미지수를 포함하는 등식이 있을 때, 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식을 말합니다. 

 

방정식의 정의를 구성하는 3요소

1. 등식이다.

2. 미지수를 포함한다.(미지수의 종류는 많아도 상관X)

3. 미지수의 값에 따라 참 또는 거짓이 된다.

 

그럼 우리가 '일차'방정식이라고 부를 때에는 어떤 요소가 하나 더 추가된 것일까요?

네, 미지수의 가장 높은 차수가 1차일 때 '일차'방정식이라고 부른답니다. 

 

예)  2x - 2 = 10   

 

만약 '이차'방정식이 있다면 식이 어떤 모습일까요?

 

예)

 

x의 차수가 2차까지 있으니 '이차'방정식이라고 부른답니다. 

이차방정식은 중3 과정에서 배우고, 삼차방정식, 사차방정식은 고2 수학에서 배우게 된답니다. 여기에서 중요한 것은 '방정식'이라는 용어가 있으면 모두 방정식의 요소를 내포한다는 점이에요. 즉, 등식이며, 미지수를 포함하며, 미지수의 값에 따라서 참 또는 거짓이 된다는 거에요. 특히 참이 되게 하는 x의 값을 구하는 것을 '방정식을 푼다'라고 말한답니다. 

 

아까 보았던 예시처럼 x = 10 이라는 것은 하나의 방정식이고, x의 값이 무엇이냐에 따라서 x = 10 이라는 등식이 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 한다는거에요. x의 값이 10이면 참인 등식이고 그때 x의 값을 방정식의 '해'라고 부르는거랍니다. 

 

 

방정식과 비교 개념 '항등식'

참고로 x에 어떠한(임의의) 값을 넣더라도 등식이 성립하는 것을 '항등식'이라고 비교개념으로 배우게 됩니다. 고등 수학에서 무척 중요하게 다루어지므로 지금부터 정확하게 용어를 정리하는게 필요해요. 항등식의 예시를 하나 볼까요?

 

3x + 1 = 3x + 1

 

위와 같은 식이 바로 항등식의 예시입니다. 좌변과 우변의 식이 똑같은게 특징이에요. 그러므로 x에 어떤 수를 대신 넣어도 좌변의 값과 우변의 값은 항상 같게 되고, 등식은 항상 참이 되죠. 용어에도 그 뉘앙스가 그대로 담겨있어요. 항상 성립하는 등식이라고 생각하면 왜 항등식이라는 용어가 되었는지 알 수 있어요.

 

지금까지 공부한 내용을 정리해볼까요? 저희는 등식의 성질 4가지 중 1가지를 사용해서 방정식의 해를 보기 쉽게 등식을 정리하는 법을 배웠어요. 1번째 등식의 성질인 '양변에 같은 수를 더해도 참 거짓은 변하지 않는다' 라는 것이죠. 

 

다시 등식의 성질을 이어가겠습니다. 

 

그럼 2번째 등식의 성질을 알아볼게요. 

양변에 같은 수를 빼도 등식의 참 또는 거짓은 변하지 않는다. 

 

x + 10 = 22

 

위와 같은 방정식이 있다고 할 때, x의 값이 무엇인지 등식의 성질을 통해 자연스럽게 도출해볼게요. 

양변에 10을 빼면 어떨까요?

 

 x + 10 - 10 = 22 - 10

 

x = 12

 

이 등식을 참이 되게 하는 값, 즉 해는 무엇일까요? x 대신 어떤 값을 넣으면(대입이라고 함) 등식이 성립할까요? 네 12을 넣으면 되겠죠. 따라서 x의 해는 12이랍니다. 

 

이번에는 3번째 등식의 성질을 이용해볼까요?

 

위와 같은 등식이 있다고 해볼게요. 양변에 3을 똑같이 곱하면 어떨까요?

 

 

이 등식이 참이 되려면 x가 9이면 됩니다. 바로 x의 해는 9입니다.

 

자 이제 하나 남은 등식의 4번째 성질을 이용해보겠습니다. 

 

4. 양변에 0이 아닌 같은 수를 나누어도 등식의 참 또는 거짓은 변하지 않는다.

 

그런데 왜 0이 아닌 같은 수를 나눌까요? 그 이유는 수학에서 0으로 나누는 것은 허용되지 않기 때문이랍니다. 

 

일단 하나의 예시를 풀어보겠습니다. 

 

3x = 12

 

이 식은 양변에 3으로 나누어보겠습니다. 

 

3x ÷3 = 12 ÷3

 

x = 4

 

따라서 x에 대한 방정식의 해는 4가 됩니다. 

 

4번째 등식의 성질에서 항상 빠지지 않고 등장하는 시험 문제가 있어요. 그 문제에 대해서 한 번 이야기해볼게요. 

 

방정식의 등식의 성질에 대한 것으로 옳지 않은 것을 고르시오. 

 

보기 ) ax = b 가 참이면 ax ÷ c = b ÷ c 도 참이다. 

 

이 보기는 4번째 등식의 성질을 맞게 설명하는 것처럼 보여요. 하지만 위 보기는 틀린 보기입니다. 왜 틀렸을까요?

그건 바로 c에 설명이 부족했기 때문이에요. c가 혹시 0이면? 그럼 위 보기는 애초에 말이 안되는 등식이 되어버려요. 수학은 0에 대해서 엄격하게 조건으로서 지위를 부여해요. 위 보기가 맞는 보기가 되려면 다음과 같아요 한답니다. 

 

 수정된 보기 ) ax = b가 참이면 ax ÷ c = b ÷ c (c ≠ 0) 도 참이다. 

 

차이를 확인하시길 바래요. 

 

그리고 등식의 성질은 한 가지만 적용되지 않아요. 경우에 따라서 여러가지 등식의 성질이 함께 사용되는 경우도 많답니다. 다음 예시를 볼게요. 

 

 5x - 3 = 12

 

 우선 양변에 3을 더해요. 

 

5x - 3 + 3 = 12 + 3

 

5x = 15

 

다음으로 양변에 5로 나누어요. 

 

 5x ÷ 5 = 15 ÷5

 

 x = 3

 

따라서 x에 대한 방정식의 해는 3이 됩니다. 

 

마지막으로 하나만 더 설명하고 마치도록 할게요. 

 

이항

이항을 한다는 개념이 있어요. 이항은 한잣말인데요, '이' 는 '옮기다' 라는 뜻이 담겨있어요. 그러므로 이항은 '항을 좌변 또는 우변으로 이동한다'라는 뜻을 지닌 수학 용어입니다.

 

이것도 등식의 성질을 벗어나지 않아요. 등식의 성질 중에 양변에 같은 수를 더하거나 혹은 빼는 경우가 있는데 이걸 간편하게 이항이라는 개념으로 설명하기도 한답니다. 

 

예를 들어 다음과 같은 식이 있다고 할게요. 

 

 2x + 5 = 9

 

여기에서 만약 등식의 성질을 이용한다면 양변에 5를 빼서 식을 정리할텐데요, 이 과정을 이항이라는 개념으로 설명하기도해요. 좌변에 있는 + 5 를 없애고 반대편에 - 5를 하는 거랍니다. 

 

 2x + 5 = 9  (좌변의 + 5를)

 

2x = 9 - 5 (우변의 - 5로 이항함)

 

이항의 방법은 좌변의 항을 우변으로, 우변의 항을 좌변으로 이동시킬 때, '+, - 부호를 바꾸어준다'는 것만 기억하시면 됩니다.

사실 이항은 등식의 성질을 조금 더 간편하게 처리하는 것에 불과해요. 원리는 등식의 성질이라는 것을 꼭 기억해주시길 바래요.

 

여기까지 방정식의 정의, 등식의 성질, 항등식, 이항에 대해서 학습해봤어요. 방정식 하나만해도 다양한 개념과 연결되어 있다는 것도 포인트 중 하나입니다. 

 

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그럼 좋은 하루되시기 바랍니다.

 

 

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