중등 2학년 수학 > 유리수와 순환소수 > 분수를 소수로 나타낼 때 유한소수와 무한소수 구분하기(기약분수가 유한소수가 되는 조건) 연습문제 프린트 학습지

중등 2학년 수학 > 유리수와 순환소수 > 분수를 소수로 나타내고 유한소수와 무한소수 구분하기 연습문제 프린트 학습지

 

소수(decimal number)는 크게 $2$가지로 분류할 수 있는데요, 유한소수와 무한소수로 나눌 수 있습니다. 참고로 중1에서 배우는 소수(prime number), 즉 $1$과 자기자신을 약수로 가지는 수와 이름이 같아서 혼동할 수 있습니다. 지금 이야기하는 소수는 소숫점(ex $3.5$)이 있는 수입니다. 

 

유한소수

유한소수란 어떤 수를 소수로 나타낼 때, 소수점 이하에 나타나는 $0$이 아닌 자연수를 셀 수 있는 수입니다. 

가령, $3.52$ 는 소수점 이하에 $0$이 아닌 자연수가 $2$개 있으므로 유한소수입니다. 왜 '$0$이 아닌'이라는 말이 있는가 하면, 만약에 $3.5$를 $3.5000000...$ 이라고 표현한다면 무한소수가 되기 때문이죠. 

 

무한소수

무한소수란 어떤 수를 소수로 나타낼 때, 소수점 이하에 $0$이 아닌 자연수를 셀 수 없는 수를 뜻합니다. 가령, $1.33333...$과 같이 $3$이 끝없이 나열되어 셀 수 없이 많다. 즉 무한하다는 의미입니다. 

무한소수는 또 2가지로 분류할 수 있어요. 

(1) 소수점 이하의 수가 순환하는 무한소수(=순환소수)

(2) 소수점 이하의 수가 순환하지 않는 무한소수

 

중등 2학년 과정에서는 (1)번 순환하는 무한소수에 대해서만 다루고, 순환하지 않는 무한소수는 '무리수'라고 하여 중등3학년 과정에서 다룹니다. 여기서부터는 무한소수를 순환소수라고 생각하면 됩니다. 

 

그렇다면, 분수를 소수로 나타낼 때, 유한소수가 될지 아니면 무한소수가 될지 어떻게 알 수 있을까요?

바로 나눗셈을 하지 않고도 알 수 있는 방법이 있어요. 

 

분수를 소수로 나타낼 때 유한소수가 되는 조건

분수를 기약분수로 나타낼 때, 분모의 소인수가 2 또는 5 뿐인 경우 유한소수가 됩니다. 

실제로 문제 예시를 보면서 살펴보도록 할게요. 

 

$\dfrac{24}{2\times{13}}$

 

이 분수를 무한소수일까요 유한소수일까요? 먼저 기약분수로 나타내면, 

 

$\dfrac{12}{13}$

 

인데요, 분모의 소인수가 2 또는 5만 있어야 유한소수가 됩니다. 따라서 이 분수를 무한소수가 됩니다. 

다음은 어떨까요?

 

$\dfrac{34}{2^{3}\times{17}}$

 

분모의 소인수가 $17$이 있으므로 무한소수가 될까요? 여기서 주의해야 하는 것은 먼저 '기약분수'로 만들어야 한다는거에요. 

 

$\dfrac{34}{2^{3}\times{17}}=\dfrac{2}{2^3}$

 

이렇게 기약분수로 만든 후에 분모를 살펴보면, 소인수가 $2$ 또는 $5$만 소인수로 가지므로(참고로 $2$ 또는 $5$를 소인수로 가진다함은 $2$만 있는 경우, $5$만 있는 경우, $2$와 $5$가 모두 있는 경우를 뜻합니다.) 유한소수가 될 수 있습니다. 

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