[중3 수학] 이차함수: 꼭짓점의 좌표가 주어질 때 미지수의 값 구하기 연습문제 프린트 학습지

[중3 수학] 이차함수: 꼭짓점의 좌표가 주어질 때 미지수의 값 구하기 연습문제 프린트 학습지

www.modoo-math.com

모두매쓰 - 무제한으로 만들어지는 인공지능 수학 문제 생성 서비스

1. 일반형 식에서 꼭짓점의 좌표 찾기

 

이차함수의 식이 일반형($y=ax^2+bx+c$)으로 주어졌을 때 꼭짓점을 찾으려면 완전제곱식을 이용해 표준형($y=a(x-p)^2+q$)으로 변형해야 합니다.

💡 개념 정리: 꼭짓점 구하기

• [1] 완전제곱식 변형: $x$가 포함된 항들을 묶어 $(x-p)^2$ 꼴로 만듭니다. 이때 필요한 상수는 $(x\text{계수의 절반})^2$입니다.
• [2] 꼭짓점 공식 이용: 변형이 복잡할 때는 꼭짓점의 $x$좌표 공식 $x = -\frac{b}{2a}$를 먼저 구한 뒤, 이 값을 식에 대입하여 $y$좌표를 구하는 방법도 효율적입니다.
• [3] 미지수 비교: 문제에서 꼭짓점의 좌표가 구체적으로 주어졌다면, 우리가 구한 식의 $p, q$와 문제의 좌표를 비교하여 미지수를 해결합니다.

2. 오늘의 문제

이차함수 $y = x^2 - 3ax + 4a$의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(-3, k)$이다. 이때 $a + k$의 값은?

① $-22$      ② $-21$      ③ $-20$
④ $-19$      ⑤ $-18$

3. 해설 및 풀이

주어진 일반형 식에서 꼭짓점의 정보를 추출하여 미지수 $a$와 $k$를 차례대로 구해봅시다.

Step 1. 꼭짓점의 $x$좌표를 이용하여 $a$ 구하기
이차함수 $y = x^2 - 3ax + 4a$에서 꼭짓점의 $x$좌표를 공식으로 구하면 다음과 같습니다.
$$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3a}{2 \times 1} = \frac{3a}{2} $$
문제에서 꼭짓점의 $x$좌표가 $-3$이라고 했으므로,
$$ \frac{3a}{2} = -3 \quad \Rightarrow \quad 3a = -6 \quad \therefore \mathbf{a = -2} $$
Step 2. 완성된 식에서 꼭짓점의 $y$좌표($k$) 구하기
$a = -2$를 원래 식에 대입하여 이차함수를 완성합니다.
$$ y = x^2 - 3(-2)x + 4(-2) $$ $$ y = x^2 + 6x - 8 $$
이 식을 완전제곱식으로 변형하여 꼭짓점의 $y$좌표를 찾습니다.
$$ y = (x^2 + 6x + 9) - 9 - 8 $$ $$ y = (x + 3)^2 - 17 $$
따라서 꼭짓점의 좌표는 $(-3, -17)$이 되므로, $k = -17$입니다.

Step 3. $a + k$ 계산하기
$$ a + k = -2 + (-17) = \mathbf{-19} $$

정답

④

#지금 모두매쓰에서 같은 유형을 무제한 생성하고 프린트해보세요

 

[중3 수학] 이차함수: 꼭짓점의 좌표가 주어질 때 미지수의 값 구하기 연습문제 프린트 학습지

www.modoo-math.com 

모두매쓰 - 무제한으로 만들어지는 인공지능 수학 문제 생성 서비스