[중3 수학] 이차함수: x절편과 y절편으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 이용하여 식 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 절편과 삼각형의 넓이를 활용한 이차함수 식 구하기

이차함수 그래프에서 축들과 만나는 점을 이용해 다각형의 넓이를 구하거나, 반대로 넓이를 통해 함수식을 유추하는 종합 문제입니다.

그래프가 $x$축과 만나는 두 점($x$절편) 사이의 거리는 삼각형의 밑변의 길이가 되고, $y$축과 만나는 점($y$절편, H)에서 원점까지의 거리는 삼각형의 높이가 된다는 기하학적 성질을 이용합니다.

💡 문제 해결 핵심 3단계

• [Step 1] 밑변과 높이 분석: 두 $x$절편 사이의 거리를 계산해 밑변의 길이를 구하고, 삼각형의 넓이 공식을 통해 높이(즉, $y$절편 H의 좌표)를 찾아냅니다.
• [Step 2] 인수분해꼴 식 세우기: 두 $x$절편이 $\alpha, \beta$ 일 때, 이차함수 식을 $y = a(x - \alpha)(x - \beta)$ 로 세우는 것이 가장 편리합니다.
• [Step 3] 미지수 대입 및 계수의 합 구하기: Step 1에서 찾은 $y$절편 좌표를 대입하여 $a$의 값을 구하고, 식을 전개하거나 대입법을 통해 최종 정답을 도출합니다.

2. 오늘의 문제

3. 해설 및 풀이

Step 1. 삼각형의 넓이로 $y$절편(H)의 좌표 구하기
그래프에서 노란색 삼각형의 밑변은 $x$축 위에 있으며, 두 $x$절편인 $-5$와 $-2$ 사이의 거리입니다.
$$ \text{밑변의 길이} = |-2 - (-5)| = 3 $$
삼각형의 넓이가 $9$이므로, 높이를 $h$라고 하면 다음과 같습니다.
$$ \frac{1}{2} \times 3 \times h = 9 \quad \Rightarrow \quad 3h = 18 \quad \Rightarrow \quad h = 6 $$
점 H는 $y$축의 음의 부분에 위치하므로 점 H의 좌표는 $(0, -6)$ 이며, 이차함수 식의 상수항인 $c = -6$ 임을 알 수 있습니다.

Step 2. $x$절편을 이용하여 함수 식 세우기
두 $x$절편이 $-5, -2$ 이므로 이차함수의 식을 인수분해꼴로 세울 수 있습니다.
$$ y = a(x + 5)(x + 2) $$
Step 3. $y$절편 대입하여 $a$ 구하기
이 그래프가 점 $(0, -6)$을 지나므로 대입해 줍니다.
$$ -6 = a(0 + 5)(0 + 2) $$ $$ -6 = 10a \quad \Rightarrow \quad \mathbf{a = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}} $$
따라서 완성된 이차함수의 식은 다음과 같습니다.
$$ y = -\frac{3}{5}(x + 5)(x + 2) $$
Step 4. $a + b + c$ 의 값 구하기
식을 전개하여 각각의 계수를 구해도 되지만, 계수의 합을 구하는 아주 멋진 팁을 적용해 봅시다!
이차함수 $y = ax^2 + bx + c$ 에서 $a + b + c$ 는 $x = 1$ 을 대입했을 때의 $y$값과 같습니다.
완성된 식에 $x = 1$ 을 바로 대입해 줍니다.
$$ a + b + c = -\frac{3}{5}(1 + 5)(1 + 2) $$ $$ a + b + c = -\frac{3}{5} \times 6 \times 3 = \mathbf{-\frac{54}{5}} $$

정답

①

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