[중3 수학] 이차함수: x절편과 이차항의 계수를 알 때, 이차함수식 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. $x$절편과 이차항의 계수를 알 때 식 세우기

이차함수 그래프가 $x$축과 만나는 점의 좌표(즉, $x$절편)와 최고차항(이차항)의 계수를 알면, 인수분해된 형태의 식을 이용하여 매우 빠르고 간단하게 함수식을 완성할 수 있습니다.

💡 개념 정리: 절편에 따른 식 세우기

• [1] 서로 다른 두 $x$절편이 주어질 때:
  그래프가 $x$축과 두 점 $(\alpha, 0)$, $(\beta, 0)$에서 만나고 이차항의 계수가 $a$라면, 식은 $y = a(x - \alpha)(x - \beta)$ 꼴이 됩니다.
• [2] 하나의 $x$절편만 가질 때 (접할 때):
  그래프가 $x$축과 한 점 $(\alpha, 0)$에서 접한다면 이는 중근을 갖는다는 뜻입니다. 따라서 완전제곱식 형태인 $y = a(x - \alpha)^2$ 꼴이 됩니다.

2. 오늘의 문제

3. 해설 및 풀이

Step 1. 그래프에서 $x$절편 확인하기
그림의 그래프를 살펴보면, 위로 볼록한 포물선이 원점 $\text{O}(0, 0)$에서 $x$축과 접하고 있습니다.
즉, 이 그래프의 $x$절편은 $0$ 하나뿐입니다.

Step 2. 기본 함수식 세우기
$x$축과 한 점 $(0, 0)$에서 접하므로, 식은 중근을 갖는 완전제곱식 형태가 됩니다.
$f(x) = a(x - 0)^2$
$f(x) = ax^2$

Step 3. 최고차항의 계수 적용하기
문제에서 '최고차항의 계수(이차항의 계수)가 $-4$'라고 명확하게 주어졌으므로, $a$ 자리에 $-4$를 그대로 대입해 줍니다.
$$ f(x) = -4x^2 $$
따라서 구하고자 하는 함수의 식은 $f(x) = -4x^2$ 이 됩니다.

정답

$f(x) = -4x^2$

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