[고등 미적분I] 도함수의 활용: 닫힌구간에서 연속함수의 최댓값과 최솟값 구하기 원리 및 연습문제

[고등 미적분I] 도함수의 활용: 닫힌구간에서 연속함수의 최댓값과 최솟값 구하기 원리 및 연습문제

www.modoo-math.com

모두매쓰 - 무제한으로 만들어지는 인공지능 수학 문제 생성 서비스

 

1. 닫힌구간에서 연속함수의 최댓값과 최솟값 구하기 원리

함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면 최대·최소 정리에 의해 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가집니다. 이차방정식인 도함수 $f'(x)=0$의 판별식 $D$의 부호에 따른 삼차함수의 그래프 개형은 다음과 같이 3가지 형태로 분류됩니다.

최대·최소를 구하는 4단계 과정:

• Step 1. 극값의 후보 찾기: 함수 $f(x)$를 미분하여 $f'(x) = 0$이 되는 $x$의 값을 모두 구합니다.
• Step 2. 구간 내의 극값 계산: 구한 $x$의 값 중, 주어진 열린구간 $(a, b)$ 내에 속하는 값만 가려내어 함숫값을 계산합니다.
• Step 3. 구간의 양 끝점 함숫값 계산: 양 끝점 $x=a$와 $x=b$를 원래 함수 $f(x)$에 각각 대입하여 $f(a)$와 $f(b)$를 계산합니다.
• Step 4. 비교 및 최종 판별: 구한 극값들과 양 끝값들 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이 됩니다.

2. 오늘의 문제

3. 해설 및 풀이

Step 1. 도함수를 이용하여 $f'(x) = 0$이 되는 $x$ 찾기
$f'(x) = 3x^2 - 27 = 0$
$3(x - 3)(x + 3) = 0$
따라서 $x = -3$ 또는 $x = 3$ 입니다.

Step 2. 주어진 구간 내의 극값 확인하기
주어진 구간이 $[-1, 3]$ 이므로 $x = -3$은 구간에 포함되지 않아 제외합니다. $x = 3$은 구간의 오른쪽 끝점이므로 아래 단계에서 한 번에 계산합니다.

Step 3. 구간의 양 끝점 함숫값 계산하기
구간의 양 끝점 $x = -1, x = 3$을 원래 식 $f(x)$에 대입합니다.
$f(-1) = (-1)^3 - 27(-1) + 5 = -1 + 27 + 5 = 31$
$f(3) = (3)^3 - 27(3) + 5 = 27 - 81 + 5 = -49$

Step 4. 비교 및 최댓값, 최솟값 판별
구해진 값들을 비교하면 가장 큰 값은 $31$이고 가장 작은 값은 $-49$입니다.

정답

최댓값 : 31
최솟값 : -49

#지금 모두매쓰에서 같은 유형을 무제한 생성하고 프린트해보세요

[고등 미적분I] 도함수의 활용: 닫힌구간에서 연속함수의 최댓값과 최솟값 구하기 원리 및 연습문제

www.modoo-math.com 

모두매쓰 - 무제한으로 만들어지는 인공지능 수학 문제 생성 서비스