[고등 미적분I] 도함수의 활용: 사차함수가 극솟값을 가지기 위한 미지수의 값의 범위 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 사차함수가 극솟값을 가질 조건

최고차항의 계수가 음수인 사차함수 $f(x)$가 극솟값을 가지려면 도함수 $f'(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가져야 합니다.

• 서로 다른 세 실근 조건: $f'(x) = 0$을 인수분해하여 하나의 실근을 찾고, 남은 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가져야 합니다. 판별식 $D > 0$을 만족해야 합니다.
• 중근 배제 조건: 남은 이차방정식이 앞서 구한 실근과 중복되지 않아야 합니다. 따라서 앞서 구한 실근을 이차방정식에 대입했을 때 $0$이 되지 않아야 합니다.

2. 오늘의 문제

3. 해설 및 정답

정답 : $-\dfrac{25}{16} < a < 0$ 또는 $a > 0$

풀이 :

최고차항의 계수가 음수인 사차함수 $f(x)$가 극솟값을 가지기 위해 $f'(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가진다.

$f'(x) = -4x^3 + 20x^2 + 16ax = 0$
$f'(0) = 0$이므로 $-4x(x^2 - 5x - 4a) = 0$ 이다.

모든 근이 달라야 하므로 이차방정식 $x^2 - 5x - 4a = 0$의 해는 $0$이 아니어야 한다.
$0^2 - 5(0) - 4a \neq 0$
$\therefore a \neq 0$

또한, $x^2 - 5x - 4a = 0$은 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식 $D > 0$이다.
$D = (-5)^2 - 4(1)(-4a) > 0$
$25 + 16a > 0$
$\therefore a > -\dfrac{25}{16}$

두 조건을 모두 만족하는 실수 $a$의 범위는
$-\dfrac{25}{16} < a < 0$ 또는 $a > 0$ 이다.

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