[고등 미적분I] 도함수의 활용: 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식 구하기 원리

곡선 밖의 점이 주어졌을 때는 접점의 좌표를 미지수로 놓고 풀이를 시작합니다.

• 접점 설정: 접점의 $x$좌표를 $t$로 놓으면 접점의 좌표는 $(t, f(t))$가 됩니다. 이때 접선의 방정식은 $y = f'(t)(x - t) + f(t)$ 입니다.
• 방정식 도출: 위에서 세운 접선의 방정식에 곡선 밖의 점의 좌표 $(x_1, y_1)$을 대입하여 $t$에 관한 방정식을 만듭니다.
• 실근의 의미: $t$에 관한 방정식을 풀어 나온 실근의 값은 접점의 $x$좌표를 의미하며, 실근의 종류(개수)는 그을 수 있는 접선의 개수와 일치합니다.
• 식 완성: 구한 $t$의 값을 처음에 세운 접선의 방정식에 각각 대입하여 식을 완성합니다.

2. 오늘의 문제

3. 해설 및 정답

정답 : $y = \dfrac{15}{2}x - 22, \;\; y = -6x + 5$

 

풀이 :

$f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3$이라 하면, $f'(x) = 6x^2 - 12x$이다.
임의의 실수 $t$에 대하여 접점 $(t, f(t))$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

$y = f'(t)(x - t) + f(t)$
$= (6t^2 - 12t)(x - t) + 2t^3 - 6t^2 + 3$

이 임의의 접선의 방정식이 곡선 밖의 한 점 $(2, -7)$을 지나므로 $x = 2, y = -7$을 대입하여 전개한다.

$-7 = (6t^2 - 12t)(2 - t) + 2t^3 - 6t^2 + 3$
$-7 = -6t^3 + 24t^2 - 24t + 2t^3 - 6t^2 + 3$
$-4t^3 + 18t^2 - 24t + 10 = 0$

양변을 $-2$로 나누어 $t$에 관한 삼차방정식을 인수분해한다.
$2t^3 - 9t^2 + 12t - 5 = 0$
$(t - 1)^2(2t - 5) = 0$

위 방정식을 풀면, $t = \dfrac{5}{2}$ 또는 $t = 1(\text{중근})$
방정식의 실근의 종류가 $2$개이므로 접선도 $2$개 그을 수 있다.

(1) $t = \dfrac{5}{2}$일 때
$f\left(\dfrac{5}{2}\right) = -\dfrac{13}{4}, \;\; f'\left(\dfrac{5}{2}\right) = \dfrac{15}{2}$
한 점 $\left(\dfrac{5}{2}, -\dfrac{13}{4}\right)$을 지나고, 기울기가 $\dfrac{15}{2}$인 접선의 방정식은
$y = \dfrac{15}{2}\left(x - \dfrac{5}{2}\right) - \dfrac{13}{4} \;\;\rightarrow\;\; y = \dfrac{15}{2}x - 22$

(2) $t = 1$일 때
$f(1) = -1, \;\; f'(1) = -6$
한 점 $(1, -1)$을 지나고, 기울기가 $-6$인 접선의 방정식은
$y = -6(x - 1) - 1 \;\;\rightarrow\;\; y = -6x + 5$

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