[고등 미적분I] 도함수의 활용: 삼차함수가 역함수를 가지기 위한 조건 연습문제 프린트 학습지

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1. 삼차함수가 역함수를 가지기 위한 조건

삼차함수 $f(x)$가 역함수를 가지려면 함수가 일대일 대응이어야 합니다. 따라서 함수는 전 구간에서 증가함수이거나 감소함수여야 합니다.

• 증가함수 조건: 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \ge 0$이 항상 성립해야 합니다.
• 감소함수 조건: 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \le 0$이 항상 성립해야 합니다.
• 판별식 조건: 이차함수인 도함수 $f'(x)$가 항상 $0$ 이상이거나 $0$ 이하이려면, 이차방정식 $f'(x) = 0$의 판별식 $D$가 $D \le 0$을 만족해야 합니다.

2. 오늘의 문제

3. 해설 및 정답

정답 : 1개

풀이 :

역함수가 존재하기 위하여 $f(x)$는 증가함수 또는 감소함수이어야 한다.

$f(x)$를 미분하면
$f'(x) = 3x^2 + 8kx + 2k \ge 0$가 항상 성립해야 한다.

$D/4 = (4k)^2 - 3 \cdot 2k \le 0$
$16k^2 - 6k \le 0$
$2k(8k - 3) \le 0$

$\therefore 0 \le k \le \dfrac{3}{8}$

위 범위를 만족하는 정수 $k$는 $0$뿐이므로, 그 개수는 1개이다.

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