[고등 미적분I] 도함수의 활용: 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식 구하기 원리

곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 다음 단계에 따라 구합니다.

• 기울기 구하기: 주어진 함수 $f(x)$를 미분하여 도함수 $f'(x)$를 구합니다. 접점의 $x$좌표인 $x_1$을 도함수에 대입하여 접선의 기울기 $m = f'(x_1)$을 계산합니다.
• 직선의 방정식 세우기: 기울기 $m$과 지나는 점 $(x_1, y_1)$을 이용하여 직선의 방정식을 작성합니다. 식은 $y - y_1 = m(x - x_1)$ 입니다.
• 식 정리하기: 작성한 식을 $y = ax + b$의 형태로 정리하여 일차함수 꼴로 나타냅니다.

2. 오늘의 문제

3. 단계별 풀이

Step 1. 도함수 및 접선의 기울기 구하기
함수 $f(x) = x^3 - x^2 - 6x + 4$를 미분하여 도함수를 구한 뒤, 접점의 $x$좌표인 $1$을 대입합니다.

$f'(x) = 3x^2 - 2x - 6$

$f'(1) = 3(1)^2 - 2(1) - 6 = 3 - 2 - 6 = -5$

따라서 접선의 기울기 $m$은 $-5$입니다.

Step 2. 접선의 방정식 세우기
기울기가 $-5$이고 점 $(1, -2)$를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.

$y - (-2) = -5(x - 1)$

$y + 2 = -5x + 5$

$y = -5x + 3$

Step 3. $a, b$의 값 및 $a + b$ 계산하기
구한 접선의 방정식 $y = -5x + 3$을 문제의 $y = ax + b$와 비교하여 $a$와 $b$의 값을 찾고, 그 합을 구합니다.

$a = -5, b = 3$

$a + b = -5 + 3 = -2$

정답

$a + b$의 값은 $-2$이므로 정답은 ②입니다.

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