고등 수학 > 공통수학I > 경우의 수 > 일대일함수의 개수 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 순열과 조합, 함수의 조건에 따른 완벽 정리

함수의 개수를 구하는 문제에서는 주어진 조건의 기호 하나가 순열과 조합을 결정해요. 가장 대표적인 두 가지 조건을 확실하게 비교해 볼게요.

• 일대일함수 (순열 $_nP_r$): $x_1 \neq x_2$ 이면 $f(x_1) \neq f(x_2)$ 이다.
  값이 다르기만 하면 되므로, 화살표가 위아래로 엇갈려도 상관없어요. 즉, '순서'를 고려하여 나열하는 순열이에요. (현재 문제의 조건)
• 증가/감소함수 (조합 $_nC_r$): $x_1 < x_2$ 이면 $f(x_1) < f(x_2)$ 이다.
  큰 $x$값은 무조건 더 큰 $y$값을 선택해야 해요. 우리가 $y$값들을 뽑기만 하면 화살표는 크기 순서대로 '자동으로' 연결돼요. 순서를 고민할 필요가 없으니 조합이에요.

[비교 도식 1] 일대일함수: 화살표가 엇갈려도 OK (순열)

[비교 도식 2] 증가함수: 자동 정렬, 뽑기만 하면 끝 (조합)

2. 일대일함수의 개수 구하기 연습문제

3. 단계별 풀이

[Step 1] 조건의 의미 정확히 파악하기

문제에 주어진 조건 '$x_1 \neq x_2$ 이면 $f(x_1) \neq f(x_2)$ 이다'는 서로 다른 $x$값은 서로 다른 $y$값을 가져야 한다는 뜻이에요. 즉, 중복 선택이 불가능한 일대일함수를 의미하며, 순서가 중요하므로 순열을 사용해서 풀어야 해요.

[Step 2] 각 원소가 선택할 수 있는 경우의 수 계산하기

집합 $X=\{1, 2, 3\}$의 원소들이 집합 $Y=\{2, 4, 6, 8, 10\}$의 원소들을 하나씩 차례대로 선택한다고 생각해 보아요.

• $x=1$이 고를 수 있는 $y$값: $Y$의 원소 5개 중 아무거나 고를 수 있으므로 5가지
• $x=2$가 고를 수 있는 $y$값: $1$이 고른 1개를 제외한 나머지 4가지
• $x=3$이 고를 수 있는 $y$값: $1, 2$가 고른 2개를 제외한 나머지 3가지

[Step 3] 곱의 법칙으로 최종 함수 개수 구하기

함수가 완성되려면 $1, 2, 3$이 모두 선택을 마쳐야 하므로 곱의 법칙을 적용합니다. 이는 $5$개 중에서 $3$개를 골라 일렬로 나열하는 순열($_5P_3$)과 완벽히 일치해요.

 

$_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$

주어진 조건을 만족하는 함수의 개수는 60개 예요.

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