고등 수학 > 공통수학I > 이차부등식 > A < B < C꼴 연립이차부등식의 계산 연습문제 프린트 학습지

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1. 이차부등식과 연립이차부등식 풀이법

이차부등식은 $ax^2 + bx + c > 0$ 과 같이 이차식으로 이루어진 부등식을 말해요. 푸는 방법의 핵심은 '$ax^2 + bx + c = 0$ 의 해를 먼저 구한 뒤, 부등호의 방향에 맞춰 범위를 정하는 것'이랍니다.

• 1단계: 표준형으로 정리: 모든 항을 한쪽으로 모아 우변을 $0$으로 만들어요. 이때 이차항의 계수를 양수로 만드는 것이 풀이를 깔끔하게 만드는 비결이에요. (양변에 $-1$을 곱하면 부등호 방향이 반대로 바뀐다는 점, 꼭 기억해야 해요!)
• 2단계: 인수분해 후 해의 결정: 이차식을 $(x - \alpha)(x - \beta)$ 꼴로 인수분해한 뒤, 부등호에 따라 범위를 결정해요. ($\alpha < \beta$ 라고 할 때)
  • $(x - \alpha)(x - \beta) > 0$ ➡ $x < \alpha$ 또는 $x > \beta$ (바깥쪽)
  • $(x - \alpha)(x - \beta) < 0$ ➡ $\alpha < x < \beta$ (사이쪽)
• 3단계: 연립부등식의 처리: $A \leq B < C$ 와 같은 연립 형태는 $A \leq B$ 와 $B < C$ 의 두 부등식으로 나누어 각각 풀어요. 그런 다음 두 해의 공통 범위(교집합)를 수직선 위에 표시하여 최종 답을 찾아내요.

2. 연습문제

[문제 1]

3. 단계별 풀이

[문제 1 풀이] $2x - 5 \leq -2x^2 + 7x - 7 < -9x + 7$

주어진 연립부등식을 두 개의 부등식으로 나누어 각각 풀어요. 가운데 식 $-2x^2 + 7x - 7$ 을 기준으로 좌우를 분리하면 돼요.

㉠ $2x - 5 \leq -2x^2 + 7x - 7$
㉡ $-2x^2 + 7x - 7 < -9x + 7$

① 부등식 ㉠ 풀기
모든 항을 우변으로 옮겨 정리해요. 이차항의 계수가 양수가 되도록 좌변과 우변을 바꾸는 셈이에요.
$0 \leq -2x^2 + 7x - 7 - 2x + 5$
$0 \leq -2x^2 + 5x - 2$
양변에 $-1$을 곱하면 부등호의 방향이 바뀌어요.

$2x^2 - 5x + 2 \leq 0$
$(2x - 1)(x - 2) \leq 0$

$(x - \alpha)(x - \beta) \leq 0$ 꼴이므로 사이쪽 범위가 해예요.
$\therefore \dfrac{1}{2} \leq x \leq 2$

② 부등식 ㉡ 풀기
같은 방식으로 모든 항을 좌변으로 옮겨 정리해요.
$-2x^2 + 7x - 7 + 9x - 7 < 0$
$-2x^2 + 16x - 14 < 0$
양변에 $-\dfrac{1}{2}$ 을 곱하면 부등호의 방향이 바뀌면서 식이 깔끔해져요.

$x^2 - 8x + 7 > 0$
$(x - 1)(x - 7) > 0$

$(x - \alpha)(x - \beta) > 0$ 꼴이므로 바깥쪽 범위가 해예요.
$\therefore x < 1 \text{ 또는 } x > 7$

③ 공통 범위(교집합) 구하기
㉠의 해 $\dfrac{1}{2} \leq x \leq 2$ 와 ㉡의 해 $x < 1$ 또는 $x > 7$ 을 수직선 위에서 함께 비교해 봐요. 두 범위가 겹치는 구간을 찾으면 다음과 같아요.

$\dfrac{1}{2} \leq x < 1$

④ 만족하는 정수 $x$의 개수 세기
구한 범위는 $0.5 \leq x < 1$ 이에요. 이 구간 안에 들어가는 정수가 있는지 살펴봐요.

• $x = 0$ ➡ $0 < 0.5$ 이므로 범위 밖이에요. ❌
• $x = 1$ ➡ 부등호가 $x < 1$ 이라 $1$은 포함되지 않아요. ❌

따라서 이 범위에 속하는 정수는 하나도 없어요. 정수의 개수는 $0$개 가 돼요.

4. 정답

[문제 1 정답] ① 0개

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