[고등 공통수학I] 이차부등식: A < B < C 꼴의 연립이차부등식 연습문제 프린트 학습지

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1. $A < B < C$ 꼴의 연립부등식: '두 개로 쪼개기'

$A \le B < C$ 처럼 한 줄로 연결된 연립부등식은 반드시 앞의 두 개($A \le B$)와 뒤의 두 개($B < C$)로 분리하여 풀어야 합니다. 두 부등식의 해를 각각 구한 뒤, 수직선을 그려 공통 부분(교집합)을 찾는 것이 핵심입니다. 

💡 연립이차부등식 구하는 법

• [Step 1] 두 개의 부등식으로 분리: $A \le B < C$ 라면 $\begin{cases} A \le B \\ B < C \end{cases}$ 로 식을 두 줄로 나눕니다.
• [Step 2] 각각의 이차부등식 풀이: 식을 한쪽으로 이항하여 인수분해한 후, $f(x) > 0$ 이면 양 끝값(큰큰작작), $f(x) < 0$ 이면 사이값으로 해를 구합니다.
• [Step 3] 수직선을 이용한 공통 범위 찾기: 구한 두 부등식의 해를 하나의 수직선 위에 나타내고, 선이 겹치는(교집합) 구간을 찾습니다. 그 범위 안에서 조건(예: 정수의 개수)에 맞는 답을 도출합니다.

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

주어진 연립부등식은 다음 두 개의 부등식을 동시에 만족해야 합니다.
$\begin{cases} -x + 7 \le 3x^2 - 8x + 9 \quad \cdots \text{①} \\ 3x^2 - 8x + 9 < -5x + 9 \quad \cdots \text{②} \end{cases}$

[1단계: 첫 번째 부등식 ① 풀기]
$ -x + 7 \le 3x^2 - 8x + 9 $
모든 항을 우변으로 이항하여 식을 정리합니다.
$ 0 \le 3x^2 - 7x + 2 $
좌변과 우변을 바꾸어 쓰면,
$ 3x^2 - 7x + 2 \ge 0 $
인수분해를 합니다.
$ (3x - 1)(x - 2) \ge 0 $
이차식이 $0$보다 크거나 같으므로 해는 양 끝값이 됩니다.
$$ x \le \frac{1}{3} \text{ 또는 } x \ge 2 \quad \cdots \text{㉠} $$

[2단계: 두 번째 부등식 ② 풀기]
$ 3x^2 - 8x + 9 < -5x + 9 $
모든 항을 좌변으로 이항하여 식을 정리합니다.
$ 3x^2 - 3x < 0 $
$3x$로 묶어서 인수분해합니다.
$ 3x(x - 1) < 0 $
이차식이 $0$보다 작으므로 해는 사이값이 됩니다.
$$ 0 < x < 1 \quad \cdots \text{㉡} $$

[3단계: 공통 범위 구하기 및 정수의 개수 세기]
수직선 위에 ㉠의 범위($x \le \frac{1}{3}, x \ge 2$)와 ㉡의 범위($0 < x < 1$)를 동시에 그리고 겹치는 부분을 찾습니다.
수직선 상에서 확인해보면, 공통된 범위는 다음과 같습니다.
$$ 0 < x \le \frac{1}{3} $$ 이 범위($0$보다 크고 대략 $0.333\dots$보다 작거나 같은 구간) 안에 존재하는 정수 $x$는 하나도 없습니다. (가장 작은 양의 정수인 $1$조차 포함되지 않습니다.)
따라서 조건을 만족하는 정수 $x$의 개수는 $\mathbf{0}$개입니다.

정답

① 0개

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