[고등 공통수학I] 이차부등식: 항상 성립할 조건 연습문제 프린트 학습지

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1. 항상 성립하는 이차부등식을 푸는 마법의 열쇠: '그래프와 판별식'

어떤 이차부등식이 '모든 실수에 대하여 항상' $0$보다 작으려면, 함수 그래프 전체가 $x$축보다 항상 아래쪽에 있어야 합니다. 이를 위해서는 포물선이 위로 볼록(최고차항 계수가 음수)해야 하고, 동시에 $x$축과 단 한 점에서도 만나지 않아야(판별식 $D < 0$) 합니다.

💡 항상 성립할 조건 구하는 법

• [Step 1] 최고차항의 조건 확인: 문제에 '이차'부등식이라는 말이 있는지 확인하여 $a \neq 0$ 조건을 찾고, 그래프의 개형에 따라 최고차항이 양수여야 할지 음수여야 할지 부호를 결정합니다.
• [Step 2] 판별식(D) 세우기: 그래프가 $x$축과 만나지 않아야 하므로 부등호 방향에 관계없이 항상 판별식 $D < 0$ 이어야 합니다. (접해도 안 됨)
• [Step 3] 공통 범위 구하기: [Step 1]에서 찾은 계수의 부호 조건과 [Step 2]에서 찾은 판별식 조건의 교집합(공통 범위)을 구합니다.

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

주어진 식이 "이차부등식"이 되려면 최고차항의 계수는 $0$이 아니어야 합니다. 즉, $a \neq 0$ 입니다.
모든 실수 $x$에 대하여 $ax^2 + (a+9)x + a < 0$ 이 항상 성립하려면 다음 두 조건을 모두 만족해야 합니다.

[조건 1] 최고차항의 계수 부호
함수의 그래프가 $x$축보다 항상 아래쪽에 위치하려면 위로 볼록한 포물선이어야 하므로,
$$ \mathbf{a < 0} \quad \cdots \text{㉠} $$
[조건 2] 판별식 $D$ 의 조건
위로 볼록한 그래프가 $x$축과 만나지 않아야 항상 $0$보다 작을 수 있으므로 판별식 $D < 0$ 이어야 합니다.
$$ D = (a+9)^2 - 4 \cdot a \cdot a < 0 $$
식을 전개하여 정리하면,
$$ a^2 + 18a + 81 - 4a^2 < 0 $$
$$ -3a^2 + 18a + 81 < 0 $$
양변을 $-3$으로 나누면 부등호의 방향이 바뀝니다.
$$ a^2 - 6a - 27 > 0 $$
인수분해를 하면,
$$ (a - 9)(a + 3) > 0 $$
따라서 이차부등식의 해는,
$$ \mathbf{a < -3 \text{ 또는 } a > 9} \quad \cdots \text{㉡} $$
[공통 범위 구하기]
㉠의 조건($a < 0$)과 ㉡의 조건($a < -3$ 또는 $a > 9$)을 동시에 만족하는 공통 범위를 구하면,
최종적으로 $a < -3$ 이 됩니다.

정답

⑤ $a < -3$

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