[고등 공통수학I] 이차방정식: 두 근 사이에 특정한 수가 있을 조건(근의 분리) 연습문제 프린트 학습지

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1. 이차방정식의 근의 위치 (근의 분리) 핵심 개념

이차방정식의 실근의 위치를 판별할 때는 함수 $y=f(x)$의 그래프를 그려서 ① 판별식, ② 경곗값의 부호(함숫값), ③ 대칭축의 위치를 확인해야 합니다. 하지만 '두 근 사이에 특정한 수 $k$가 있다'는 조건이 주어졌을 때는 무조건 경곗값의 부호 하나만 확인하면 됩니다. 특정 수가 두 근 사이에 있으면 그래프는 반드시 $x$축과 두 점에서 만나게 되므로 판별식을 확인할 필요가 없습니다.

💡 두 근 사이에 $k$가 있을 조건 구하는 법

• [Step 1] 이차함수 그래프 개형 파악: 주어진 이차식을 $f(x)$로 두고, 최고차항의 계수를 보고 아래로 볼록한지(U자 모양), 위로 볼록한지($\cap$자 모양) 파악합니다.
• [Step 2] 경곗값의 부호 설정: 두 근 사이에 $k$가 있으려면, 아래로 볼록일 때는 $f(k) < 0$ 이어야 하고, 위로 볼록일 때는 $f(k) > 0$ 이어야 합니다.
• [Step 3] 부등식 풀기: 세워진 $f(k)$에 대한 이차부등식을 풀어 미지수의 범위를 구합니다. (이때 판별식 $D$는 계산할 필요가 없습니다!)

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

[함수 설정 및 그래프 개형 파악]
주어진 이차방정식의 좌변을 $f(x)$라고 합시다.
$$ f(x) = -2x^2 + 3x + a^2 + 2a + 2 $$ 이차항의 계수가 $-2$로 음수이므로, 이 이차함수의 그래프는 위로 볼록한 포물선입니다.

[함숫값의 부호 조건 세우기]
위로 볼록한 그래프가 $x$축과 만나는 두 교점(두 근) 사이에 $x = 2$가 존재해야 합니다.
그래프를 그려보면 두 근 사이의 $x$값에 대응하는 $y$값은 모두 $x$축보다 위쪽에 위치하게 됩니다. 따라서 $x=2$일 때의 함숫값은 반드시 0보다 커야 합니다.
$$ f(2) > 0 $$

[이차부등식 풀기]
$f(x)$ 식에 $x=2$를 대입하여 부등식을 풉니다.
$$ f(2) = -2(2)^2 + 3(2) + a^2 + 2a + 2 > 0 $$ $$ -8 + 6 + a^2 + 2a + 2 > 0 $$ 식을 정리하면,
$$ a^2 + 2a > 0 $$ $$ a(a + 2) > 0 $$
이 이차부등식의 해는 작은 근보다 작거나 큰 근보다 크므로 다음과 같습니다.
$$ \mathbf{a < -2 \text{ 또는 } a > 0} $$

정답

② $a < -2 \text{ 또는 } a > 0$

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