[고등 공통수학I] 이차부등식: 해가 하나뿐인 이차부등식과 그래프 개형 연습문제 프린트 학습지

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1. 해가 단 하나뿐인 이차부등식의 개형: '접한다'

일반적으로 이차부등식의 해는 특정 범위(구간)로 나옵니다. 하지만 부등식 $f(x) \le 0$ 의 해가 $x=p$ 단 하나뿐이라면 어떨까요? 이는 $y=f(x)$의 그래프가 $x$축 아래로 내려가지는 않고, 오직 $x=p$에서 $x$축과 살짝 닿기만(접하기만) 한다는 뜻입니다. 즉, 그래프는 '아래로 볼록'하고 꼭짓점이 $x$축 위에 존재해야 합니다.

💡 특수한 해를 가진 이차부등식 분석법

• [Step 1] 볼록한 방향 결정하기 (최고차항 부호): $f(x) \le 0$의 해가 오직 하나이려면, 나머지는 모두 $f(x) > 0$이어야 합니다. 따라서 그래프는 아래로 볼록($a>0$)해야 합니다.
• [Step 2] 완전제곱식으로 식 세우기: $x=p$에서만 $f(x)=0$이 되므로, 함수식은 $f(x) = a(x-p)^2$ 꼴로 작성할 수 있습니다.
• [Step 3] 특정 함숫값 관찰하기: $a+b+c$ 나 $a-b+c$ 같은 식의 부호를 판별할 때는, $x=1$이나 $x=-1$을 대입한 특정 $x$에서의 함숫값($y$좌표)의 부호를 그래프상에서 확인하는 것이 핵심입니다.

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

주어진 조건에서 이차부등식 $f(x) \le 0$의 해가 오직 $x=4$뿐이라고 했습니다.
이 말은 $y=f(x)$ 그래프의 $y$값이 $0$ 이하인 곳이 딱 한 군데($x=4$일 때)밖에 없다는 뜻입니다. 즉, 꼭짓점의 좌표가 $(4, 0)$이고, 그 외의 모든 $x$에 대해서는 그래프가 $x$축보다 위에 떠 있어야 합니다.

따라서 함수식은 $f(x) = a(x-4)^2$ 으로 둘 수 있으며, 아래로 볼록해야 하므로 $a > 0$ 이어야 합니다.

이제 이 정보를 바탕으로 <보기>를 하나씩 분석해 봅시다.

ㄱ. $a < 0$ (거짓)
만약 $a < 0$ (위로 볼록)이라면 $f(x) \le 0$의 해는 수직선 전체이거나 특정 범위를 벗어난 바깥 구간이 됩니다. 해가 하나뿐이려면 반드시 아래로 볼록인 $a > 0$ 이어야 합니다.

ㄴ. $a+b+c < 0$ (거짓)
$a+b+c$라는 식은 함수 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 에 $x=1$을 대입했을 때의 값, 즉 $f(1)$을 의미합니다.
$f(1) = a(1-4)^2 = a(-3)^2 = 9a$
앞서 $a > 0$이라고 했으므로, $9a$는 당연히 양수입니다. 따라서 $a+b+c > 0$ 입니다.

ㄷ. 함수 $f(x)$의 최솟값은 $0$ (참)
$f(x) = a(x-4)^2$ 이고 $a > 0$이므로, 이 이차함수의 그래프는 꼭짓점 $(4, 0)$을 가장 아래로 하는 포물선입니다.
따라서 함수 $f(x)$가 가질 수 있는 가장 작은 $y$값(최솟값)은 꼭짓점의 $y$좌표인 $0$이 맞습니다.

결론적으로 옳은 설명은 ㄷ뿐입니다.

정답

③ ㄷ

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