[고등 공통수학I] 이차부등식: 이차함수와 직선의 위치 관계 연습문제 프린트 학습지

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1. 이차함수와 직선의 위치 관계 핵심 개념

이차함수의 그래프가 직선보다 '위쪽에 있다'는 것은 같은 $x$값에 대하여 이차함수의 함숫값이 직선의 함숫값보다 더 크다는 것을 의미합니다. 즉, $f(x) > g(x)$라는 부등식을 세울 수 있으며, 이를 한쪽으로 이항하여 만든 새로운 이차부등식의 해가 곧 두 그래프의 교점 사이의 $x$값 범위가 됩니다.

💡 미정계수 구하는 방법

• [Step 1] 부등식 세우기 및 정리: 주어진 조건에 맞게 $f(x) > g(x)$ 부등식을 세우고, 최고차항의 계수가 양수가 되도록 식을 정리합니다.
• [Step 2] 해를 이용하여 식 작성하기: 주어진 해 $\alpha < x < \beta$를 바탕으로 $(x-\alpha)(x-\beta) < 0$ 형태의 이차부등식을 만듭니다. (최고차항 계수 주의!)
• [Step 3] 계수 비교: [Step 1]에서 정리한 식과 [Step 2]에서 전개한 식의 각 항의 계수를 비교하여 미지수를 구합니다.

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

[이차부등식 세우고 정리하기]
이차함수 $y = -2x^2 - 5x + p$ 의 그래프가 직선 $y = qx - 4$ 보다 위쪽에 있으므로 부등식은 다음과 같습니다.
$$ -2x^2 - 5x + p > qx - 4 $$ 이 부등식의 모든 항을 우변으로 넘겨 최고차항의 계수를 양수로 만들어 줍니다.
$$ 2x^2 + (5 + q)x - (p + 4) < 0 \quad \cdots \text{ (1)} $$

[주어진 해를 이용하여 식 만들기]
문제에서 위 부등식의 해가 $2 < x < 7$ 이라고 주어졌습니다.
최고차항의 계수가 $2$이고 해가 $2 < x < 7$ 인 이차부등식을 작성하면,
$$ 2(x - 2)(x - 7) < 0 $$ 이 식을 전개해 봅니다.
$$ 2(x^2 - 9x + 14) < 0 $$ $$ 2x^2 - 18x + 28 < 0 \quad \cdots \text{ (2)} $$

[계수 비교 및 정답 계산]
식 (1)과 식 (2)는 완전히 같은 식이어야 하므로, 각 항의 계수를 비교합니다.

* $x$의 계수 비교:
$$ 5 + q = -18 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{q = -23} $$
* 상수항 비교:
$$ -(p + 4) = 28 \quad \Rightarrow \quad p + 4 = -28 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{p = -32} $$
따라서 구하고자 하는 $p + q$ 의 값은 다음과 같습니다.
$$ p + q = (-32) + (-23) = \mathbf{-55} $$

정답

② $-55$

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