[고등 공통수학I] 이차부등식: 둔각삼각형이 될 조건 연습문제 프린트 학습지

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1. 둔각삼각형이 되기 위한 마법의 열쇠: '3가지 조건의 교집합'

미지수가 포함된 세 변의 길이가 주어졌을 때, 둔각삼각형이 되기 위해서는 단순히 피타고라스 정리의 확장 공식만 쓰면 안 됩니다. 가장 먼저 모든 변의 길이는 양수여야 한다는 기본 조건과 삼각형이 만들어지기 위한 결정 조건을 만족한 상태에서, 둔각삼각형의 조건(이차부등식)까지 모두 만족하는 공통 범위를 찾아야 합니다.

💡 둔각삼각형 조건 구하는 법

• [Step 1] 변의 길이 조건: 세 변의 길이가 모두 $0$보다 커야 합니다. (가장 짧은 변 $> 0$ 이면 충분합니다.)
• [Step 2] 삼각형의 결정 조건: (가장 긴 변의 길이) $<$ (나머지 두 변의 길이의 합) 이어야 삼각형이 그려집니다.
• [Step 3] 둔각삼각형 조건: 피타고라스 정리의 확장에 의해, (가장 긴 변)$^2$ $>$ (나머지 두 변의 제곱의 합) 이 성립하도록 이차부등식을 세웁니다.
• [Step 4] 공통범위 찾기: 위에서 구한 세 가지 부등식의 해의 공통부분(교집합)을 구합니다.

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

세 변의 길이가 각각 $x-4$, $x+3$, $x+4$ 이므로, 가장 긴 변은 명백하게 $x+4$ 입니다.

[조건 1] 변의 길이 조건
가장 짧은 변인 $x-4$가 양수여야 하므로,
$$ x - 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 4 \quad \cdots \text{㉠} $$
[조건 2] 삼각형의 결정 조건
가장 긴 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합보다 작아야 하므로,
$$ x + 4 < (x - 4) + (x + 3) $$
$$ x + 4 < 2x - 1 $$
$$ x > 5 \quad \cdots \text{㉡} $$
[조건 3] 둔각삼각형의 조건
가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합보다 커야 하므로 이차부등식을 세웁니다.
$$ (x + 4)^2 > (x - 4)^2 + (x + 3)^2 $$
식을 전개하여 정리하면,
$$ x^2 + 8x + 16 > x^2 - 8x + 16 + x^2 + 6x + 9 $$
$$ x^2 + 8x + 16 > 2x^2 - 2x + 25 $$
우변으로 항을 모두 이항하여 정리하면,
$$ x^2 - 10x + 9 < 0 $$
인수분해를 하면 $(x - 1)(x - 9) < 0$ 이므로,
$$ 1 < x < 9 \quad \cdots \text{㉢} $$
[공통범위 및 정답 도출]
㉠, ㉡, ㉢ 의 공통범위를 구하면 $5 < x < 9$ 입니다.
문제에서 주어진 조건 $\alpha < x < \beta$ 와 비교하면,
$$ \alpha = 5, \; \beta = 9 $$
따라서 구하고자 하는 값은,
$$ \alpha^2 + \beta^2 = 5^2 + 9^2 = 25 + 81 = \mathbf{106} $$

정답

② 106

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