고등 수학 > 공통수학I > 경우의 수 > 반원 위의 점으로 삼각형 만들기 연습문제 프린트 학습지

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1. 점을 이어 삼각형을 만드는 방법 (조합)

삼각형을 만들려면 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 3개의 점을 선택해야 해요. 따라서 전체 점 중에서 3개를 고르는 모든 경우의 수에서, 한 직선 위에 있는 점들 중에서만 3개를 고르는 경우의 수를 빼주면 된답니다.

• 전체 경우의 수: 전체 $n$개의 점 중 3개를 선택 $\rightarrow _nC_3$
• 삼각형이 안 되는 경우: 한 일직선 위에 있는 $m$개의 점 중 3개를 선택 $\rightarrow _mC_3$
• 삼각형의 개수 구하기: $_nC_3 - _mC_3$

2. 오늘의 연습문제

3. 단계별 풀이

[Step 1] 전체 점의 개수와 모든 경우의 수 구하기

그림에서 점의 개수를 세어보면 곡선 부분에 5개, 직선 부분에 7개로 총 12개의 점이 있어요. 12개의 점 중에서 순서에 상관없이 3개를 고르는 모든 경우의 수는 다음과 같아요.

$_{12}C_3 = \dfrac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$

[Step 2] 한 직선 위에 있는 점들 파악하기

삼각형이 만들어지지 않는 경우는 선택한 3개의 점이 모두 한 직선 위에 있을 때예요. 그림의 아래쪽 직선 위에는 7개의 점이 나란히 모여 있어요. 이 7개의 점 중에서 3개를 고르는 경우의 수를 구해서 빼주어야 해요.

$_7C_3 = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

[Step 3] 삼각형의 개수 계산하기

전체 경우의 수에서 삼각형이 만들어지지 않는 경우의 수를 빼줍니다.

$220 - 35 = 185$

4. 정답

조건을 만족하는 삼각형의 개수는 185개 예요.

 

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