[고등 공통수학I] 경우의 수: 일대일함수의 개수 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 일대일함수의 개수를 구하는 마법의 열쇠: '순열'

수학에서 $x_1 \neq x_2$ 이면 $f(x_1) \neq f(x_2)$ 이다라는 조건은 일대일함수를 의미합니다. 즉, 정의역의 원소들이 공역의 원소들과 하나씩 짝지어질 때, 이미 다른 원소가 선택한 값은 중복해서 선택할 수 없다는 뜻입니다. 이 경우 선택지가 하나씩 줄어들게 되므로 경우의 수는 순열(${}_n\mathrm{P}_r$)의 개념을 사용하여 곱셈으로 구합니다.

💡 일대일함수 개수 구하는 법

• [Step 1] 집합의 원소 개수 파악: 정의역(출발하는 집합 $X$)과 공역(도착하는 집합 $Y$)의 원소가 각각 몇 개인지 확인합니다.
• [Step 2] 차례대로 가짓수 세기: $X$의 첫 번째 원소가 선택할 수 있는 가지 수를 세고, 다음 원소는 앞서 선택된 것을 제외한 나머지 중에서 고르도록 가짓수를 1씩 줄여가며 나열합니다.
• [Step 3] 모두 곱하기 (곱의 법칙): 각 원소가 대응되는 사건은 연속적으로 일어나므로, 구한 가짓수들을 모두 곱해줍니다.

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

[조건 해석하기]
주어진 조건 $x_1 \neq x_2$ 이면 $f(x_1) \neq f(x_2)$ 이다는 일대일함수를 찾으라는 뜻입니다.
정의역 $X = \{1, 2, 3, 4\}$ 의 원소는 총 $4$개이고, 공역 $Y = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ 의 원소는 총 $5$개입니다.

[단계별 경우의 수 구하기]
* $X$의 첫 번째 원소 $1$이 선택할 수 있는 $Y$의 원소는 $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ 전체이므로 $5$가지입니다.
* $X$의 두 번째 원소 $2$가 선택할 수 있는 $Y$의 원소는 앞서 $1$이 선택한 값을 제외하고 남은 $4$가지입니다.
* $X$의 세 번째 원소 $3$이 선택할 수 있는 $Y$의 원소는 앞서 선택된 $2$개를 제외한 $3$가지입니다.
* $X$의 네 번째 원소 $4$가 선택할 수 있는 $Y$의 원소는 앞서 선택된 $3$개를 제외한 $2$가지입니다.

[최종 계산]
이 과정은 연달아 일어나므로 곱의 법칙을 사용하여 모두 곱해줍니다.
$$ 5 \times 4 \times 3 \times 2 = \mathbf{120} $$
(기호로는 ${}_5\mathrm{P}_4$ 로 나타낼 수 있습니다.)

정답

$120$

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