[고등 공통수학I] 경우의 수: 조건에 맞게 사물함 배정하기 연습문제 프린트 학습지

[고등 공통수학I] 경우의 수: 조건에 맞게 사물함 배정하기 연습문제 프린트 학습지

www.modoo-math.com

모두매쓰 - 무제한으로 만들어지는 인공지능 수학 문제 생성 서비스

 

1. 조건이 있는 자리 배치 핵심 개념: '빈 공간'의 활용

'이웃하지 않는다'는 조건이 있을 때는 조건을 만족하게 해주는 '칸막이' 역할을 찾거나, 인원이 적거나 제한 조건이 까다로운 대상을 기준으로 경우(Case)를 나누어 생각하는 것이 핵심입니다. 이 문제에서는 남학생과 여학생이 같은 층에서 이웃하지 않아야 하므로, 하나뿐인 '빈 사물함'이 둘 사이를 갈라놓는 칸막이 역할을 해야 합니다.

💡 경우의 수 구하는 방법

• [Step 1] 전체 칸과 사람 수 비교: 7개의 사물함에 6명을 배정하므로 반드시 1개의 '빈 사물함'이 생김을 파악합니다.
• [Step 2] 층별 케이스 나누기: 인원수가 적은 '여학생 2명'이 몇 층에 배정되는지를 기준으로 경우를 나눕니다.
• [Step 3] 패턴 찾고 자리 배치: 각 케이스별로 남학생(B), 여학생(G), 빈 사물함(E)의 유효한 배치 패턴을 찾고, 학생들을 자리에 배열($n!$)하여 곱해줍니다.

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

이해를 돕기 위해 남학생을 B, 여학생을 G, 빈 사물함을 E라고 합시다. 총 사물함은 7개, 학생은 6명이므로 E는 1개입니다.
여학생(G)의 층별 배치를 기준으로 경우를 나누어 봅니다.

[Case 1] 2층에 여학생 2명이 모두 배정되는 경우
2층(3칸)에 여학생 2명(G)이 배정될 때, 남학생(B)이 들어가면 반드시 G와 이웃하므로 남은 1칸은 무조건 빈 사물함(E)이어야 합니다.
* 2층 배치 패턴: (G, G, E), (G, E, G), (E, G, G) $\rightarrow$ 3가지
* 1층 배치 패턴: 남은 남학생 4명이 모두 1층에 배정 (B, B, B, B) $\rightarrow$ 1가지
이제 각 자리에 학생들을 배열합니다.
$$ 3 \text{ (패턴)} \times 2! \text{ (여학생 배열)} \times 4! \text{ (남학생 배열)} = 3 \times 2 \times 24 = 144 $$

[Case 2] 1층과 2층에 여학생이 각각 1명씩 배정되는 경우 (불가능)
2층(3칸)에 여학생 1명(G)이 배정되면, 남학생(B)과 이웃하지 않기 위해 유일한 빈 사물함(E)이 그 사이를 막아주어야 합니다. 즉, 2층은 (B, E, G) 형태가 됩니다.
이렇게 2층에서 유일한 빈 사물함(E)을 써버리면, 1층(4칸)에는 남학생 3명(B)과 여학생 1명(G)을 빈칸 없이 꽉 채워 배치해야 합니다. 이 경우 반드시 남학생과 여학생이 이웃하게 되므로 조건을 만족할 수 없습니다. (경우의 수 0)

[Case 3] 1층에 여학생 2명이 모두 배정되는 경우
2층(3칸)에는 남학생 3명이 배정됩니다. (B, B, B) $\rightarrow$ 1가지
1층(4칸)에는 여학생 2명(G), 남학생 1명(B), 빈칸 1개(E)가 배정됩니다. 남학생과 여학생이 이웃하지 않으려면 반드시 E가 B와 G를 갈라놓아야 합니다.
* 1층 배치 패턴: (B, E, G, G) 또는 (G, G, E, B) $\rightarrow$ 2가지
이제 각 자리에 학생들을 배열합니다.
$$ 1 \times 2 \text{ (패턴)} \times 4! \text{ (남학생 배열)} \times 2! \text{ (여학생 배열)} = 2 \times 24 \times 2 = 96 $$

[최종 정답 계산]
가능한 모든 경우의 수를 더해줍니다.
$$ \text{총 경우의 수} = 144 + 96 = 240 $$

정답

② 240

#지금 모두매쓰에서 고등 공통수학 경우의 수 문제를 무제한 생성하고 프린트해보세요

www.modoo-math.com

모두매쓰 - 무제한으로 만들어지는 인공지능 수학 문제 생성 서비스

 

[고등 공통수학I] 경우의 수: 조건에 맞게 사물함 배정하기 연습문제 프린트 학습지