[고등 공통수학I] 경우의 수: 도형 위에서 직선과 삼각형의 개수 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 조합의 활용: '일직선 위의 점들' 속 함정 피하기

도형 위에 주어진 점들을 연결하여 직선이나 삼각형을 만들 때는 조합(${_n}\mathrm{C}_{r}$)을 사용합니다. 하지만 단순한 공식 적용을 넘어, '한 직선 위에 있는 3개 이상의 점들'을 찾아내어 중복되거나 아예 도형이 만들어지지 않는 경우를 빼주는 것이 이 유형의 핵심입니다.

💡 직선과 삼각형 개수 구하는 법

• [Step 1] 일직선 위의 점 찾기: 3개, 4개, 5개 등 한 직선 위에 늘어선 점들의 그룹을 가로, 세로, 대각선 방향으로 모두 찾습니다. (이때 숨겨진 사선 방향에 유의!)
• [Step 2] 직선의 개수 ($a$): 전체 점에서 2개를 뽑는 경우의 수(${_n}\mathrm{C}_{2}$)에서, 일직선 위에서 2개를 뽑는 경우를 빼줍니다. 단, 직선 하나는 남겨야 하므로 마지막에 뺀 횟수만큼 $+1$을 해줍니다.
• [Step 3] 삼각형의 개수 ($b$): 전체 점에서 3개를 뽑는 경우의 수(${_n}\mathrm{C}_{3}$)에서, 일직선 위에서 3개를 뽑는 경우를 완전히 빼줍니다. (일직선 위에서는 삼각형이 아예 안 만들어지므로 $+1$을 하지 않습니다.)

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

주어진 도형의 전체 꼭짓점의 개수는 $19$개입니다. 가장 먼저 해야 할 일은 '한 직선 위에 있는 점들의 모임'을 빠짐없이 찾는 것입니다.

[1단계: 일직선 위의 점들 개수 파악하기]
* 5개의 점이 있는 직선: 가로 중앙 1줄, ↙ 방향 중앙 1줄, ↘ 방향 중앙 1줄 $\rightarrow$ 총 3개
* 4개의 점이 있는 직선: 5개짜리 줄을 중심으로 평행하게 양옆에 위치 $\rightarrow$ 가로 2줄, 대각선 2방향 각 2줄 = 총 6개
* 3개의 점이 있는 직선 (★가장 중요!):
  ① 정삼각형의 변과 평행한 외곽선: 6개
  ② 숨겨진 직선 (정삼각형의 높이 방향): 세로로 똑바로 내려가는 선 3개, 양옆으로 기운 사선 각 3개씩 $\rightarrow$ 9개
  따라서 3개의 점이 있는 직선은 $6 + 9 =$ 총 15개입니다. (이 숨겨진 9개를 찾는 것이 킬러 포인트입니다.)

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[2단계: 직선의 개수 $a$ 구하기]
전체 점에서 2개를 고른 후, 일직선 위에서 2개를 고른 중복을 제거하고, 직선 자체를 1개씩 복구해줍니다.
$$ a = {}_{19}\mathrm{C}_{2} - (3 \times {}_{5}\mathrm{C}_{2} + 6 \times {}_{4}\mathrm{C}_{2} + 15 \times {}_{3}\mathrm{C}_{2}) + (3 + 6 + 15) $$ $$ a = 171 - (3 \times 10 + 6 \times 6 + 15 \times 3) + 24 $$ $$ a = 171 - (30 + 36 + 45) + 24 $$ $$ a = 171 - 111 + 24 = \mathbf{84} $$

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[3단계: 삼각형의 개수 $b$ 구하기]
전체 점에서 3개를 고른 후, 일직선 위에서 3개를 골라 삼각형이 안 만들어지는 경우를 모두 빼줍니다.
$$ b = {}_{19}\mathrm{C}_{3} - (3 \times {}_{5}\mathrm{C}_{3} + 6 \times {}_{4}\mathrm{C}_{3} + 15 \times {}_{3}\mathrm{C}_{3}) $$ $$ b = \frac{19 \times 18 \times 17}{3 \times 2 \times 1} - (3 \times 10 + 6 \times 4 + 15 \times 1) $$ $$ b = 969 - (30 + 24 + 15) $$ $$ b = 969 - 69 = \mathbf{900} $$

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[4단계: 최종 정답 구하기]
따라서 $a = 84$, $b = 900$ 이므로
$$ 2a + b = 2(84) + 900 = 168 + 900 = \mathbf{1068} $$

정답

② 1068

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