[고등 공통수학I] 경우의 수: 원 위의 점으로 삼각형과 직각삼각형 만들기 연습문제 프린트 학습지

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1. 원 위의 점으로 삼각형 만들기 핵심 개념

원 위의 점들 중에서 3개를 선택하여 삼각형을 만들 때, 순서와 상관없이 점을 고르는 것이므로 조합(Combination)을 사용합니다. 특히, 직각삼각형을 만들기 위해서는 반원에 대한 원주각이 $90^\circ$라는 성질을 이용해야 합니다. 즉, 삼각형의 한 변이 반드시 원의 중심을 지나는 '지름'이 되어야 합니다.

💡 경우의 수 구하는 방법

• [Step 1] 전체 삼각형의 개수: 서로 다른 $n$개의 점 중에서 순서에 상관없이 3개를 선택하는 조합 ${}_n\mathrm{C}_3$을 계산합니다.
• [Step 2] 원의 지름 개수 파악: 점들이 일정한 간격으로 놓여 있을 때, 마주 보는 두 점을 연결하여 만들 수 있는 지름의 개수를 찾습니다.
• [Step 3] 직각삼각형의 개수: 지름 1개당, 지름의 양 끝점을 제외한 나머지 점들 중 하나를 꼭짓점으로 선택하면 무조건 직각삼각형이 완성됩니다. 즉, (지름의 개수) $\times$ (나머지 점의 개수)로 계산합니다.

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

[전체 삼각형의 개수 $a$ 구하기]
원주 위의 10개의 점 중에서 세 점을 선택하는 경우의 수이므로 10개에서 3개를 택하는 조합입니다.
$$ a = {}_{10}\mathrm{C}_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 $$

[직각삼각형의 개수 $b$ 구하기]
원주각이 $90^\circ$가 되려면 삼각형의 가장 긴 변이 원의 지름이어야 합니다.
10개의 점이 일정한 간격으로 있으므로, 중심을 지나게 마주 보는 두 점을 이으면 총 5개의 지름을 그을 수 있습니다.
지름 1개당, 지름의 양 끝점 2개를 제외한 나머지 8개의 점 중 하나를 꼭짓점으로 선택하면 직각삼각형이 완성됩니다.
$$ b = 5 \times 8 = 40 $$

[$a + b$의 값 구하기]
구해진 $a$와 $b$의 값을 더해줍니다.
$$ a + b = 120 + 40 = 160 $$

정답

④ 160

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