[고등 공통수학I] 경우의 수: 토너먼트 대진표 작성하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 대진표 작성의 마법의 열쇠: '위에서 아래로 분할하기'

토너먼트 대진표를 작성하는 방법은 '조 나누기(분할)'의 대표적인 활용 문제입니다. 결승전을 기준으로 나무의 가지를 치듯 위에서 아래로(Top-Down) 팀을 나누어 내려가면 복잡한 대진표도 쉽게 해결할 수 있습니다.

💡 토너먼트 대진표 구하는 법

• [Step 1] 결승전 중심선 찾기: 대진표의 맨 위 결승전을 기준으로 좌/우 크게 몇 팀씩 나뉘는지 확인합니다.
• [Step 2] 조합(${_n}\mathrm{C}_{r}$)으로 조 나누기: 각 갈래마다 배정될 팀을 조합을 이용하여 뽑아줍니다.
• [Step 3] 중복 제거하기 (핵심!): 만약 나눈 두 조의 인원수가 같다면, 조의 위치가 바뀌는 것은 같은 대진표이므로 반드시 $2!$로 나누어 주어야 합니다. (인원수가 다르면 나누지 않습니다!)

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

[방법 1: 조합을 이용하여 위에서 아래로 조 나누기]
가장 직관적이고 실수가 적은 방법입니다. 결승전을 기준으로 갈래를 하나씩 쪼개어 봅시다.

1단계 (결승전 기준 크게 나누기): 7팀을 왼쪽 5팀, 오른쪽 2팀으로 나눕니다.
$$ {_7}\mathrm{C}_{5} \times {_2}\mathrm{C}_{2} = 21 \times 1 = 21 $$ 2단계 (왼쪽 5팀 나누기): 5팀을 다시 왼쪽 2팀, 오른쪽 3팀으로 나눕니다.
$$ {_5}\mathrm{C}_{2} \times {_3}\mathrm{C}_{3} = 10 \times 1 = 10 $$ 3단계 (오른쪽 3팀 나누기): 3팀을 다시 부전승 1팀과 시합하는 2팀으로 나눕니다.
$$ {_3}\mathrm{C}_{1} \times {_2}\mathrm{C}_{2} = 3 \times 1 = 3 $$ 마무리: 모든 사건이 연속해서 일어나며, 각 단계별로 나눈 팀의 수(5명/2명, 2명/3명, 1명/2명)가 모두 다르므로 중복을 제거할($2!$로 나눌) 필요가 없습니다. 모든 경우의 수를 곱해줍니다.
$$ 21 \times 10 \times 3 = \mathbf{630} $$

정답

① 630

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