중등 2학년 수학 > 연립일차방정식 > x=0, y=0 이외의 해를 가지는 연립일차방정식 연습문제 프린트 학습지

중등 2학년 > 일차연립방정식 > x=0, y=0 이외의 해를 가지는 연립일차방정식 연습문제 프린트 학습지

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1. 'x=0, y=0 이외의 해'를 가진다는 건 어떤 의미일까요?

연립방정식의 각 식에서 상수항이 모두 $0$인 경우, $x=0, y=0$은 두 식에 대입했을 때 항상 성립합니다. 그런데 이외의 해를 더 가진다는 것은 기하학적으로 다음과 같은 의미를 가집니다.

• 기하학적 의미: 두 직선이 모두 원점$(0,0)$을 지나는 상황에서, 원점이 아닌 또 다른 점에서도 만난다는 뜻입니다.
• 무수히 많은 해: 두 직선이 두 점 이상에서 만나려면 결국 두 직선이 완전히 일치할 수밖에 없습니다. 즉, 해가 무수히 많아지는 경우와 완벽히 같은 조건이 됩니다.

 

       

오직 (0,0)에서만 만남
(해 1개)

 

 

VS

 

       

두 직선이 완전히 겹침
(무수히 많은 해)

 

2. 연습문제

3. 단계별 풀이

[Step 1] 식을 $ax+by=0$ 형태로 정리하기

연립방정식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 $x$와 $y$에 대해 각각 묶어줍니다.

$-2x - y - ky = 0 \;\Rightarrow\; -2x - (k+1)y = 0$
$2x + 3ky - y = 0 \;\Rightarrow\; 2x + (3k-1)y = 0$

[Step 2] 두 직선이 일치할 조건 적용하기

앞서 그래프에서 보았듯, 원점 이외의 해를 가지려면 두 직선이 완전히 일치해야 합니다. 즉, 두 식의 $x$ 계수의 비와 $y$ 계수의 비가 서로 같아야 합니다.

$\dfrac{-2}{2} = \dfrac{-(k+1)}{3k-1}$

[Step 3] 상수 $k$ 구하기

위에서 세운 방정식을 풀어줍니다.
$-1 = \dfrac{-k-1}{3k-1}$
$-(3k-1) = -k-1$
$-3k + 1 = -k - 1$
$-2k = -2$
따라서 $k = 1$이 됩니다.

4. 정답

상수 $k$의 값은 1 이에요.

 

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