고등 공통수학I > 여러가지 방정식 > 삼차방정식의 계산 연습문제 프린트 학습지

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1. 삼차방정식 풀이의 핵심 원리

삼차방정식을 푸는 가장 기본적이고 중요한 방법은 '인수분해'예요. 주어진 식을 1차식과 2차식의 곱으로 분리하는 것이 첫 번째 목표랍니다.

• 공통인수로 묶기: 모든 항에 공통으로 들어있는 문자나 숫자가 있다면 가장 먼저 묶어내요.
• 인수분해 공식 활용: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ 와 같은 곱셈공식의 변형을 적극적으로 찾아봐요.
• 이차방정식의 풀이: 인수분해를 통해 $A \times B = 0$ 형태를 만들었다면, $A = 0$ 또는 $B = 0$을 만족하는 해를 구해요. 이때 2차식 부분이 인수분해가 되지 않으면 근의 공식을 사용하여 허근까지 모두 찾아주어야 해요.

2. 오늘의 연습문제

[문제 1]

[문제 2]

3. 단계별 풀이

[문제 1 풀이] $x^3 - 125 = 0$

$125$는 $5$의 세제곱($5^3$)임을 파악하는 것이 중요해요. 주어진 식을 인수분해 공식 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$에 맞추어 전개해 봐요.

$x^3 - 5^3 = 0$
$(x - 5)(x^2 + 5x + 25) = 0$

위 식에서 근을 구하려면 $x - 5 = 0$ 이거나 $x^2 + 5x + 25 = 0$ 이어야 해요.

• 첫 번째 식에서 실근 $x = 5$ 를 얻어요.
• 두 번째 2차식은 더 이상 인수분해가 되지 않으므로 근의 공식을 사용해요.
  $x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{-75}}{2}$
  따라서 서로 다른 두 허근 $x = \dfrac{-5 \pm 5\sqrt{3}i}{2}$ 를 얻어요.

[문제 2 풀이] $x^3 + 5x^2 + 6x = 0$

모든 항에 공통인수 $x$가 포함되어 있어요. 먼저 $x$로 식 전체를 묶어내어 차수를 낮춰보아요.

$x(x^2 + 5x + 6) = 0$

이제 괄호 안의 2차식 $x^2 + 5x + 6$ 을 인수분해해요. 더해서 $5$, 곱해서 $6$이 되는 두 수는 $2$와 $3$이에요.

$x(x + 2)(x + 3) = 0$

따라서 세 일차식 중 하나가 $0$이 되어야 하므로, 만족하는 해는 다음과 같아요.
$x = 0$ 또는 $x = -2$ 또는 $x = -3$

4. 정답

[문제 1 정답] $x = 5$ 또는 $x = \dfrac{-5 \pm 5\sqrt{3}i}{2}$

[문제 2 정답] $x = -3, -2, 0$

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