[중1 수학] 정비례와 반비례: 삼각형의 넓이를 이등분하는 정비례 그래프 관계식 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 도형의 넓이를 이등분하는 직선의 원리

좌표평면 위에서 직선이 삼각형의 넓이를 이등분하는 문제는 다음의 원리를 적용하여 해결할 수 있습니다.

• 꼭짓점을 지나는 직선: 삼각형의 한 꼭짓점(해당 문제에서는 원점)을 지나는 직선이 넓이를 이등분하기 위해서는 반드시 마주 보는 변의 중점을 지나야 합니다.
• 원리: 꼭짓점을 공유하여 분할된 두 삼각형은 높이가 동일합니다. 따라서 밑변의 길이가 같아야 두 삼각형의 넓이가 같아집니다.
• 중점 좌표 구하기: 양 끝점의 $x$좌표와 $y$좌표를 각각 더한 후 $2$로 나누어 구합니다. 👉 $\left( \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right)$

2. 오늘의 문제

3. 단계별 풀이

Step 1. 직선이 지나야 하는 목표 지점 파악하기
정비례 그래프 $y = ax$는 반드시 원점 $\text{O}(0,0)$을 지납니다.
이 직선이 삼각형 $\text{AOB}$의 넓이를 이등분하려면, 원점과 마주 보고 있는 선분 $\text{AB}$의 한가운데 점(중점)을 정확히 관통해야 합니다.

Step 2. 선분 $\text{AB}$의 중점 좌표 구하기
점 $\text{A}(0, 6)$과 점 $\text{B}(7, 0)$의 딱 중간에 있는 좌표를 구해볼까요?

$x$좌표의 절반: $\dfrac{0 + 7}{2} = \dfrac{7}{2}$

$y$좌표의 절반: $\dfrac{6 + 0}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$

👉 따라서 중점의 좌표는 $\left( \dfrac{7}{2}, 3 \right)$ 입니다.

Step 3. 식에 대입하여 상수 $a$ 구하기
직선 $y = ax$가 점 $\left( \dfrac{7}{2}, 3 \right)$을 지나야 하므로, 이 좌표를 식에 대입해 줍니다.

$3 = a \times \dfrac{7}{2}$

양변에 $\dfrac{7}{2}$의 역수인 $\dfrac{2}{7}$를 똑같이 곱해줍니다.

$3 \times \dfrac{2}{7} = a$

$a = \dfrac{6}{7}$

정답

상수 $a$의 값은 $\dfrac{6}{7}$ 이므로 정답은 ④ 입니다.

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