x축, y축에 동시에 접하고, 한 점을 지나는 원의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지

x축, y축에 동시에 접하고, 한 점을 지나는 원의 방정식 구하기 연습문제 프린트 학습지

이 문제는 x축과 y축에 동시에 접하는 원의 방정식을 구하는 문제입니다. 

미지수를 최소한으로 만들기 위해서 문제의 조건을 잘 살펴봐야하는데요, 

x축과 y축에 동시에 접한다면 원의 반지름은 어떻게 될까요? 

아마도 원의 중심을 (r,r)라고 한다면 반지름도 r이 될 것입니다. 

이때 이 원이 한 점을 지난다고 생각해보세요. 그 점이 만약 제 1사분면 위의 점이라고 한다면 그 점을 지나고, x축과 y축에 동시에 접하는 원도 제 1사분면에 위치할거에요. 그럼 만약 한 점이 제 3사분면 위의 점이고 그 점이 원의 그래프 위에 존재한다면, 원은 어느 사분면에 있을까요? 네, 바로 점의 위치와 동일한 제 3사분면에 있을거에요. 

이게 미지수가 있는 원의 방정식을 세우는데 중요한 역할을 한답니다. 

다음 그림을 보시면, 이해에 도움이 되실 거에요. 

위 그림처럼 원이 제 2사분면에서 x축과 y축에 동시에 접한다면 원의 방정식은 다음과 같습니다. 

 

r은 양수라고 했을 때, 위 식처럼 x+r, y-r 처럼 부호가 적절하게 붙게 되게 됩니다. 

그럼 다시 처음으로 돌아가 이 문제의 점이 몇 사분면의 점인지 알아보면, (4,2) 제 1사분면의 점임을 알 수 있습니다. 

그럼 원의 방정식은 어떻게 시작될까요?

 

이 그림처럼 원이 위치할 것이므로 다음과 같이 원의 방정식을 놓을 수가 있어요. 

 

이 원의 방정식이 그래프로 그려졌을 때, (4,2)를 지나게 됩니다.(달리 말하면 (4,2)라는 점이 원 위에 있습니다.)

그럼 이 점을 원의 방정식에 대입하면 반드시 성립하겠네요. 

 

따라서 문제를 해결하게 되면 r에 대한 이차방정식이 나오는데, 그 이유는 뭘까요? 조건을 만족하는 원이 큰 것과 작은 것 2개가 있다는 뜻이에요. 마치 다음 그림처럼 말이지요.