[중1 수학] 문자와 식: 거듭제곱꼴의 n이 짝수/홀수일 때 일차식의 계산 연습문제 프린트 학습지

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1. $(-1)$의 거듭제곱과 부호 결정 원리

거듭제곱이 포함된 다항식의 계산에서는 $(-1)$의 지수 자리에 있는 미지수 $n$이 '짝수'인지 '홀수'인지를 판별하여 식 전체의 부호를 먼저 결정하는 것이 핵심입니다.

💡 3단계 부호 판별 및 계산법

• [Step 1] 지수의 짝수/홀수 판별하기:
  $(-1)$을 짝수 번 곱하면 $+1$, 홀수 번 곱하면 $-1$이 됩니다.
  - $(-1)^{\text{짝수}} = \mathbf{1}$
  - $(-1)^{\text{홀수}} = \mathbf{-1}$
• [Step 2] 연속된 수의 성질 이해하기:
  어떤 수 $n$이 짝수라면, 그보다 1이 큰 수인 $n+1$은 무조건 홀수가 됩니다. 반대로 $n$이 홀수라면 $n+1$은 짝수가 됩니다.
• [Step 3] 부호를 적용하여 식 간단히 하기:
  판별된 $+1$ 또는 $-1$을 다항식 앞에 곱해주고, 분배법칙을 이용하여 괄호를 푼 뒤 동류항끼리 묶어 계산합니다.

2. 오늘의 실전 문제

$n$이 짝수일 때,
$(-1)^n \cdot (3x + y) - (-1)^{n+1} \cdot (2x - 2y)$
를 간단히 하면?

① $5x + 3y$        ② $x - y$         ③ $5x - y$

④ $-x - y$         ⑤ $5x + y$

3. 해설 및 풀이

Step 1. $(-1)^n$ 의 값 구하기
$n$이 짝수라고 했으므로, $(-1)$을 짝수 번 곱하게 됩니다.
$$ (-1)^n = (-1)^{\text{짝수}} = \mathbf{1} $$
Step 2. $(-1)^{n+1}$ 의 값 구하기
$n$이 짝수이면, 짝수에 $1$을 더한 $n+1$은 무조건 홀수가 됩니다.
(예: $n=2$ 이면 $n+1=3$) 따라서 $(-1)$을 홀수 번 곱하게 됩니다.
$$ (-1)^{n+1} = (-1)^{\text{홀수}} = \mathbf{-1} $$
Step 3. 식에 대입하여 전개하기
구한 값들을 원래 식에 대입합니다.
$$ 1 \cdot (3x + y) - (-1) \cdot (2x - 2y) $$ 부호를 주의하며 괄호를 풉니다. 가운데 부분은 $-(-1)$ 이 만나서 $+$ 가 됩니다.
$$ = (3x + y) + 1 \cdot (2x - 2y) $$ $$ = 3x + y + 2x - 2y $$
Step 4. 동류항끼리 모아 계산하기
$x$는 $x$끼리, $y$는 $y$끼리 계산해 줍니다.
$$ = (3x + 2x) + (y - 2y) $$ $$ = \mathbf{5x - y} $$

정답

③

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