[중1 수학] 입체도형: 원기둥 모양의 그릇을 기울였을 때, 물의 부피 구하기 연습문제 프린트 학습지

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기울어진 원기둥에 담긴 물의 부피를 구하는 문제는 물의 평균 높이를 구하여 계산하거나, 전체 원기둥 부피에서 비어있는 부분의 부피를 빼는 방식으로 쉽게 해결할 수 있습니다.

방법 1: 물의 평균 높이 이용하기

가장 직관적으로 계산할 수 있는 방법입니다.

• 기울어진 상태에서 물이 닿아있는 가장 긴 쪽의 길이는 원기둥의 전체 높이와 같은 10cm입니다.
• 물이 닿아있는 가장 짧은 쪽의 길이는 전체 높이 10cm에서 비어있는 부분인 7cm를 뺀 3cm입니다.
• 이 두 높이의 평균을 구하여 원기둥의 부피 공식에 대입합니다.
• $$ \text{평균 높이} = \frac{10 + 3}{2} = \frac{13}{2} $$
• 밑면의 반지름이 3cm이므로, 물의 부피는 밑넓이에 평균 높이를 곱하여 구합니다.
• $$ \text{부피} = (\pi \times 3^2) \times \frac{13}{2} = 9\pi \times \frac{13}{2} = \frac{117}{2}\pi $$

방법 2: 전체 부피에서 빈 공간 빼기

• 전체 원기둥의 부피: 밑면의 반지름이 3cm이고 높이가 10cm인 원기둥의 전체 부피를 구합니다.
• $$ \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi $$
• 비어있는 부분의 부피: 물이 채워지지 않은 빈 공간은 밑면의 반지름이 3cm이고 높이가 7cm인 원기둥을 대각선으로 정확히 반으로 자른 모양과 같습니다.
• $$ \frac{1}{2} \times (\pi \times 3^2 \times 7) = \frac{63}{2}\pi $$
• 물의 부피: 전체 부피에서 빈 공간의 부피를 빼줍니다.
• $$ 90\pi - \frac{63}{2}\pi = \frac{180\pi - 63\pi}{2} = \frac{117}{2}\pi $$

두 가지 방법 모두 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

따라서 정답은 ③ $\frac{117}{2}\pi$ cm³ 입니다.

 

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