[고등 공통수학I] 이차방정식: 두 근의 차가 주어질 때 미지수 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 두 근의 차를 이용한 풀이: '근과 계수의 관계'

이차방정식에서 '두 근의 차'가 주어졌을 때, 근의 공식으로 직접 두 근을 구해서 빼는 것은 계산이 매우 복잡해집니다. 이럴 때는 '이차방정식의 근과 계수의 관계'와 곱셈 공식의 변형인 $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ 를 이용하면 복잡한 미지수가 포함된 식도 빠르고 정확하게 풀 수 있습니다.

💡 두 근의 조건이 주어졌을 때 미지수 구하는 법

• [Step 1] 근과 계수의 관계 작성: 두 근을 $\alpha, \beta$로 두고, 두 근의 합($\alpha+\beta$)과 곱($\alpha\beta$)을 미지수 $m$에 대한 식으로 나타냅니다.
• [Step 2] 곱셈 공식의 변형 이용: 문제에서 주어진 조건인 두 근의 차($|\alpha-\beta|$)를 제곱하여, $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta$ 공식에 대입할 준비를 합니다.
• [Step 3] 새로운 방정식 풀이: Step 1에서 구한 식을 Step 2의 공식에 대입하면 미지수 $m$에 대한 새로운 이차방정식이 만들어집니다. 이를 풀어 $m$의 값을 구합니다.

 

2. 오늘의 실전 문제

3. 해설 및 풀이

이차방정식 $x^2 - (m - 4)x + m^2 + 4m + 4 = 0$ 의 두 근을 $\alpha, \beta$ 라고 합시다.

[1단계: 근과 계수의 관계 적용하기]
근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합과 곱은 다음과 같이 표현됩니다.
* 두 근의 합: $\alpha + \beta = m - 4$
* 두 근의 곱: $\alpha\beta = m^2 + 4m + 4 = (m+2)^2$

[2단계: 곱셈 공식의 변형 식 세우기]
문제에서 두 근의 차가 $6$이라고 했으므로, $|\alpha - \beta| = 6$ 입니다.
양변을 제곱하면 $(\alpha - \beta)^2 = 36$ 이 됩니다.
이제 우리가 잘 알고 있는 곱셈 공식의 변형식에 대입합니다.
$$ (\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta $$

[3단계: 식 대입 후 $m$에 대한 이차방정식 풀이]
$36 = (m - 4)^2 - 4(m^2 + 4m + 4)$
우변을 전개하여 정리해 봅니다.
$36 = (m^2 - 8m + 16) - 4m^2 - 16m - 16$
$36 = -3m^2 - 24m$
모든 항을 좌변으로 이항하여 $m$에 대한 이차방정식을 만듭니다.
$3m^2 + 24m + 36 = 0$
양변을 $3$으로 나누어 식을 간단하게 합니다.
$$ m^2 + 8m + 12 = 0 $$ $$ (m + 2)(m + 6) = 0 $$ 따라서, 조건을 만족하는 실수 $m$의 값은 $m = -2$ 또는 $m = -6$ 입니다.

[4단계: 최종 정답 구하기]
문제에서 실수 $m$의 모든 값의 합을 구하라고 하였으므로,
$ (-2) + (-6) = \mathbf{-8} $

정답

③ $-8$

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