[중3 수학] 이차방정식: 한 근을 알 때, 다른 한 근 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 한 근이 주어졌을 때 미지수 구하기

이차방정식의 '근(해)'이라는 것은 그 식의 $x$ 자리에 대입했을 때 등식이 참이 되게 하는 값을 의미합니다.

따라서 방정식에 모르는 문자(미지수)가 있더라도, 주어진 한 근을 $x$에 대입하면 미지수의 값을 알아낼 수 있고, 이를 바탕으로 온전한 이차방정식을 만들어 다른 한 근을 마저 구할 수 있습니다.

💡 문제 해결 3단계

• [Step 1] 대입하기: 주어진 한 근을 이차방정식의 $x$에 대입하여 미지수($a$, $k$ 등)에 대한 일차방정식을 만듭니다.
• [Step 2] 미지수 구하기: 만들어진 일차방정식을 풀어 미지수의 값을 구하고, 원래 식에 다시 대입하여 온전한 이차방정식을 완성합니다.
• [Step 3] 인수분해하여 다른 근 구하기: 완성된 이차방정식을 인수분해하여 나머지 한 근을 찾아냅니다.

2. 오늘의 문제

이차방정식 $x^2 - ax + 21 = 0$의 한 근이 $-7$일 때, 다른 한 근은? (단, $a$는 상수이다.)

① $-3$        ② $-2$        ③ $-1$

④ $0$         ⑤ $1$

3. 해설 및 풀이

Step 1. $x = -7$ 대입하기
한 근이 $-7$이므로 방정식의 $x$ 자리에 $-7$을 대입합니다.
$$ (-7)^2 - a(-7) + 21 = 0 $$ $$ 49 + 7a + 21 = 0 $$
Step 2. 상수 $a$의 값 구하고 식 완성하기
$$ 7a + 70 = 0 $$ $$ 7a = -70 $$ $$ a = -10 $$
구한 $a = -10$을 원래 방정식에 대입하여 온전한 이차방정식을 만듭니다.
$$ x^2 - (-10)x + 21 = 0 $$ $$ x^2 + 10x + 21 = 0 $$
Step 3. 인수분해하여 다른 한 근 구하기
곱해서 21, 더해서 10이 되는 두 수는 3과 7입니다.
$$ (x + 3)(x + 7) = 0 $$ 따라서 두 근은 $x = -3$ 또는 $x = -7$이 됩니다.
문제에서 주어진 근이 $-7$이므로, 다른 한 근은 $-3$입니다.

⚡ 초스피드 풀이법 (근과 계수의 관계 이용)
이차방정식 $x^2 + bx + c = 0$에서 (두 근의 곱) = (상수항 $c$)입니다.
상수항이 21이므로, $(-7) \times (\text{다른 한 근}) = 21$ 이어야 합니다.
따라서 다른 한 근은 바로 $-3$임을 알 수 있습니다!

정답

①

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