[중3 수학] 이차방정식: (판별식 개념정리) 이차방정식이 중근을 가질 때 미지수 구하기 연습문제 프린트 학습지

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1. 판별식($D$)과 이차방정식의 근의 개수

이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$)의 근의 공식 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$에서, 근호 안의 식 $b^2 - 4ac$의 부호에 따라 실근의 개수가 결정됩니다.

근의 성질을 '판별'해준다고 하여 이를 판별식이라 부르며, 기호 $D$로 나타냅니다. ($D = b^2 - 4ac$)

💡 판별식 $D$에 따른 근의 3가지 조건

• [1] $D > 0$ 인 경우: $\pm \sqrt{\text{양수}}$가 존재하므로 서로 다른 두 실근 (2개)을 갖습니다.
• [2] $D = 0$ 인 경우: $\pm 0$이 되어 사라지므로 $x = \frac{-b}{2a}$ 라는 중근 (서로 같은 두 실근, 1개)을 갖습니다.
• [3] $D < 0$ 인 경우: $\sqrt{\text{음수}}$는 실수 범위에 존재하지 않으므로 실근이 없습니다 (0개).

※ 짝수 판별식 ($\frac{D}{4}$): $x$의 계수 $b$가 짝수일 때는 계산을 간단히 하기 위해 $b' = \frac{b}{2}$로 두고 $\frac{D}{4} = b'^2 - ac$ 를 사용합니다. 부호가 가지는 의미는 $D$와 완벽하게 똑같습니다!

2. 오늘의 문제

이차방정식 $9x^2 + 6x - 3k + 7 = 0$이 중근을 가질 때, 상수 $k$의 값과 그 중근은?

① $k = 2, \ x = \frac{2}{3}$
② $k = -2, \ x = \frac{2}{3}$
③ $k = -2, \ x = -\frac{1}{3}$
④ $k = 2, \ x = -\frac{1}{3}$
⑤ $k = 2, \ x = -\frac{4}{3}$

3. 해설 및 풀이

주어진 이차방정식이 중근을 가진다고 했으므로, 판별식을 사용하여 먼저 상수 $k$의 값을 구해야 합니다. $x$의 계수(6)가 짝수이므로 짝수 판별식($\frac{D}{4}$)을 사용하면 계산이 훨씬 수월합니다.

Step 1. 판별식을 이용하여 $k$의 값 구하기
$9x^2 + 6x - 3k + 7 = 0$ 에서
$a = 9$, $b' = 3$, $c = -3k + 7$ 입니다.

중근을 가질 조건 $\frac{D}{4} = b'^2 - ac = 0$ 을 적용하면,
$$3^2 - 9(-3k + 7) = 0$$ $$9 + 27k - 63 = 0$$ $$27k - 54 = 0$$ $$27k = 54$$ $$\therefore \mathbf{k = 2}$$
Step 2. 구한 $k$를 대입하여 중근 구하기
방정식에 $k = 2$를 다시 대입합니다.
$$9x^2 + 6x - 3(2) + 7 = 0$$ $$9x^2 + 6x - 6 + 7 = 0$$ $$9x^2 + 6x + 1 = 0$$
이 식을 완전제곱식으로 인수분해합니다.
$$(3x)^2 + 2(3x)(1) + 1^2 = 0$$ $$(3x + 1)^2 = 0$$ $$3x + 1 = 0$$ $$\therefore \mathbf{x = -\frac{1}{3}}$$
따라서 조건을 만족하는 상수 $k$의 값은 $2$ 이고, 그때의 중근은 $x = -\frac{1}{3}$ 입니다.

정답

④

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