[중3 수학] 인수분해: 공통인수로 묶기 개념 정리 및 연습문제 프린트 학습지

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1. 인수분해의 가장 기본, '공통인수' 찾기

인수분해란 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것을 말합니다. 즉, 식을 '전개'하는 과정의 정반대 작업입니다.

어떤 복잡한 인수분해 공식을 사용하기 전에 가장 먼저 확인해야 할 필수 단계가 바로 '공통인수로 묶기'입니다. 다항식의 모든 항에 공통으로 곱해져 있는 문자나 숫자를 찾아 괄호 밖으로 빼내는 과정입니다.

💡 공통인수로 묶는 원리 (분배법칙의 역과정)

• [공식] $$ mA + mB = m(A + B) $$
• [Step 1] 숫자의 공통인수: 각 항의 계수들의 최대공약수를 찾습니다.
• [Step 2] 문자의 공통인수: 모든 항에 공통으로 들어있는 문자를 찾고, 그 문자의 지수 중 가장 작은 지수를 선택합니다.
• [Step 3] 묶어내기: 찾은 숫자와 문자의 공통인수를 괄호 밖으로 빼내고, 남은 항들을 괄호 안에 적어줍니다.

2. 오늘의 문제

다음 식을 인수분해하시오.

(1) $a^2 - 3a$
(2) $xy^3 + 3x^3y^2$
(3) $8xy + 6x^2y^2$
(4) $2x^2y^3 - 6x^3y + xy^3$

3. 해설 및 풀이

각 다항식의 항들을 살펴보고 공통인수를 꼼꼼하게 찾아 묶어봅시다.

(1) $a^2 - 3a$
항이 $a^2$과 $-3a$ 두 개입니다. 두 항에 공통으로 곱해져 있는 문자는 $a$입니다.
$$ a^2 - 3a = a \times a - 3 \times a $$ $$ \therefore \mathbf{a(a - 3)} $$
(2) $xy^3 + 3x^3y^2$
* 문자 $x$: 두 항에 모두 들어있으며, 가장 작은 지수는 1입니다. $\rightarrow x$
* 문자 $y$: 두 항에 모두 들어있으며, 가장 작은 지수는 2입니다. $\rightarrow y^2$
따라서 공통인수는 $xy^2$이 됩니다.
$$ xy^3 + 3x^3y^2 = xy^2(y) + xy^2(3x^2) $$ $$ \therefore \mathbf{xy^2(y + 3x^2)} $$
(3) $8xy + 6x^2y^2$
* 숫자: $8$과 $6$의 최대공약수는 2입니다.
* 문자: $x$와 $y$가 각각 1개씩 공통으로 들어있으므로 $xy$입니다.
따라서 공통인수는 $2xy$가 됩니다.
$$ 8xy + 6x^2y^2 = 2xy(4) + 2xy(3xy) $$ $$ \therefore \mathbf{2xy(4 + 3xy)} $$
(4) $2x^2y^3 - 6x^3y + xy^3$
항이 세 개일 때는 세 항 모두에 들어있는 공통인수를 찾아야 합니다.
* 숫자: 세 번째 항의 계수가 $1$이므로 숫자의 공통인수는 없습니다.
* 문자: 세 항 모두에 $x$가 최소 1개, $y$가 최소 1개씩 들어있으므로 공통인수는 $xy$입니다.
$$ 2x^2y^3 - 6x^3y + xy^3 = xy(2xy^2) - xy(6x^2) + xy(y^2) $$ $$ \therefore \mathbf{xy(2xy^2 - 6x^2 + y^2)} $$

정답

(1) $a(a - 3)$
(2) $xy^2(y + 3x^2)$
(3) $2xy(4 + 3xy)$
(4) $xy(2xy^2 - 6x^2 + y^2)$

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