중3 수학 > 피타고라스의 정리 증명법

오늘은 너무나도 유명한 수학적 정리인 피타고라스의 정리에 대해 증명하는 시간을 가지겠습니다.

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일단 피타고라스의 정리가 무엇인지부터 알아볼게요.

직각삼각형의 세 변의 길이를 a, b, c라 할 때 다음과 같은 정리가 성립합니다.

무척 간단하죠. 하지만 이 피타고라스의 정리가 수학사와 현실에 미치는 영향력은 정말 어마한데요,

몇 가지만 예를 들어볼게요.

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피타고라스의 정리 → 점과 점 사이의 거리 공식

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좀 과장시켜 말하자면 피타고라스가 자율주행자동차를 만든 일등 공신이라고 할 수 있어요. 점과 점 사이의 거리를 통해 사물의 인식과 거리의 인식을 할 수 있거든요. 아이폰으로 얼굴인식을 하는 로직도 뜯어보면 수 천만개의 점과 점 사이의 거리 연산이고 이 공식은 피타고라스의 정리에서 나왔습니다.

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피타고라스의 정리 → 원의 방정식

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원을 좌표평면이나 좌표공간 위의 도형으로 나타낼 수 있는 원의 방정식 또는 구의 방정식 모두 피타고라스의 정리로부터 파생되었어요.

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그럼 피타고라스의 정리를 증명해보도록 하겠습니다.

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피타고라스의 증명법

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피타고라스라는 사람이 피타고라스의 정리를 처음 어떻게 발견했는지부터 살펴볼게요. 이를 피타고라스의 증명법이라고 합니다.

먼저 정사각형 하나를 만든다음에 네 귀퉁이에 똑같은 모양의 직각삼각형을 그려요

그러면 전체 정사각형의 넓이는 다음과 같아요.

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전체 정사각형의 넓이가 a+b의 전체 제곱이 되는데 식을 전개하고나서 살펴보면,

갈색으로 색칠된 부분의 넓이의 합이 2ab를 차지하고 있어요. 그렇다면 남은 넓이는

a제곱과 b제곱의 합인데 그림을 보면 자연스럽게 c제곱과 같다는 것을 알 수 있지요.

따라서 피파고라스의 정리가 성립하는 것이죠. 왼쪽 그림만 봐도 충분히 이해할 수 있어요.

이렇게 직관적으로 피타고라스의 정리의 증명 중 하나를 살펴보았어요.

그림을 자세히 살펴보면서 피타고라스의 정리가 성립하는 이유에 대해서 잘 생각해보길 바래요.